Тема 5. Кручение

Кручением называется такой вид деформации, при котором в любом по­перечном сечении бруса возникает только крутящий момент. Деформации кручения подвергаются многие детали самолета и двигателя (коленчатый вал поршневого двигателя, вал газораспределения, валики приводов топливных и масляных насосов, вал редуктора и др.). Кручению подвергаются и такие элементы самолета, как крыло, фюзеляж, лонжероны рулей и элеронов, стабилизатор, киль, стойки шасси и др.

Деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскостях, перпендикулярных оси, приложить пары сил. Моменты этих пар будем называть вращающими (при вращении бруса) и скручивающими (если брус защемлен).

П оперечные сечения вала не искривляются, а поворачиваются вокруг оси вала, как жесткие диски. При кручении оказывается справедливой гипотеза плоских сечений, которая характеризуется следующими положениями:

• сечения вала плоские и перпендикулярные к оси вала до деформации остаются такими же и после деформации;

• расстояние между ними не меняется;

• радиусы окружностей остаются прямыми линиями.

Рассмотрим кручение круглого цилиндра длиной l (рис. 3.2.14).

Выделим из вала элементарный цилиндр длиной dz. Будем считать выделенную часть бруса защемленной в сечении I. Под действием М_к вал повернется на угол d. Угол, на который поворачивается при кручении любое сечение, называется углом закручивания. Угол закручивания возрастает прямо пропорционально расстоянию сечения от закрепленного конца стержня и достигает наибольших размеров в крайнем сечении на свободном конце.

Образующая АВ займет положение АВ, то есть произойдет сдвиг на угол , тогда

BB = dz = d или .

Угол, приходящийся на единицу длины стержня, называется относительным углом закручивания и определяется по формуле

,

тогда

 = .

По закону Гука при сдвиге касательное напряжение

. (3.2.15)

Внутренняя сила, возникающая на площадке dА, расположенной на расстоянии r от оси бруса, равна t_r×dА, ее момент относительно оси вала равен t_r×dА×r.Суммируя элементарные моменты по площади сечения, получим полный крутящий момент, возникающий в сечении вала:

, Т_к = ,

где – полярный момент инерции.

Из полученной зависимости выразим относительный угол закручивания:

, (3.2.16)

тогда касательное напряжение при кручении в любой точке вала находится по формуле

. (3.2.17)

Очевидно в центре вала при ρ = 0 τ = 0. Максимального значения касательное напряжение достигает на поверхности вала при ρ = d/2. Из эпюры видно (рис. 3.2.15), что внутренние слои материала при кручении нагружены мало, поэтому более рациональным, чем сплошное, является трубчатое поперечное сечение вала – при этом достигается большая экономия материала:

τ _max = , (3.2.18)

где W_ = – полярный момент сопротивления сечения.

Найдем абсолютный угол закручивания вала .

Так как , имеем

,

откуда

.

Если на длине l крутящий момент, модуль сдвига и диаметр вала постоянны, то после интегрирования получим

. (3.2.19)

Произведение (GJ_), стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при кручении.

Условие прочности при кручении. Величина максимальных касательных напряжений в данном сечении равна

, (3.2.20)

где [τ] – допускаемое касательное напряжение при кручении.

С помощью условия прочности можно проверить прочность вала, определить допустимое значение момента на валу, а также провести проектный расчет – определить необходимый диаметр вала.

1. Проверка прочности (проверочный расчет) – расчет, производимый, когда известны наибольший крутящий момент и размеры поперечного сечения вала. Расчет производится непосредственно по формуле (3.2.20).

2. Подбор сечения (проектный расчет). Решив неравенство (3.2.20) относительно W_r получим формулу для определения полярного момента сопротивления, а значит диаметра вала, исходя из условия прочности:

W_ρ > ,

Для круглого сечения , откуда

.

Для кольцевого сечения , где d и D – внутренний и наружный диаметры вала.

3. Определение допускаемого крутящего момента – расчет производимый, когда известны размеры сечения вала и задано допускаемое напряжение:

T_кр = W_r [t_к].

Расчет на жесткость. Расчетная формула на жесткость при кручении имеет вид:

θ = < [θ]. (3.2.21)

Величина допускаемых углов закручивания зависит от назначения вала и обычно принимается в пределах [θ] = 0,25...1 град/м.

Эпюры крутящих моментов. Для наглядного изображения распределения крутящих моментов вдоль оси бруса строят эпюры крутящих моментов.

Для определения крутящего момента в сечении используют метод сечений. Рассмотрим пример на рис. 3.2.16. Вращающий момент подводится к валу (брус круглого сечения) от шкива 1 и снимается с вала через передающие шкивы 2, 3, 4 на другие валы механизма. Для определения крутящего момента в сечении х = х₁, рассмотрим равновесие, например, левой части от сечения. Составим уравнение равновесия:

; ,

откуда Т_кр = М₁.

Рис. 3.2.16

При рассмотрении равновесия правой части получим

В любом сечении вала действует крутящий момент, равный сумме крутящих моментов, лежащих по одну сторону от этого сечения.

Диаграмму (рис. 3.2.16), показывающую распределение значений крутящих моментов по длине вала, называют эпюрой крутящих моментов. Для построения таких эпюр следует придерживаться правила знаков. Принято считать, что если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит результирующий момент внешних пар, приложенных к рассматриваемой части вала, вращающим ее в направлении против хода часовой стрелки, то крутящий момент считается положительным, а вращающий момент внешних сил – отрицательным. При противоположном направлении – наоборот. Эпюра крутящих моментов вала показывает степень нагруженности участков вала.

При расчете валов на прочность часто задается не вращающий момент, а мощность, передаваемая валом, и частота вращения вала. Тогда вращающий момент определяют по формуле

М = 9554 (Нм),

где M – вращающий момент, Нм;

P – можность, передаваемая валом, кВт;

n – частота вращения вала, об/мин.

Пример. Проверьте на прочность вал редуктора поршневого двигателя, если наружный диаметр (D) равен 92 мм, внутренний диаметр (d) равен 60 мм, допускаемое напряжение для материала вала [τ ] = 35 МПа. Двигатель развивает мощность (P), равную 1050 л. с. при оборотах вала редуктора n = 1800 об/мин. 1 л. с. = 0,736 кВт.

Решение. Найдем полярный момент сопротивления и крутящий момент сечения:

W_r = = 125×10³ мм³; Т_кр = 9554 = 4180 Hм;

t_max = = = 33,5 MПа  35 МПа.

Максимальное касательное напряжение меньше допускаемого напряжения для материала вала, следовательно, условие прочности выполняется.