Тема 3. Напряженное состояние

Если растягиваемый брус разрезать косо, то в наклонном сечении будут и нормальные, и касательные напряжения (рис. 3.2.9). Определим их величину. Полные напряжения в наклонном сечении определятся по формуле

р = ,

где F_n – растягивающая сила;

А_φ – площадь наклонного сечения.

Т ак как

А_φ = А/cos φ,

где А – площадь поперечного сечения;

φ – угол между поперечным и наклонным сечениями,

тогда

р = = σcos φ.

Поскольку полные напряжения р можно разложить на нормальные и касательные напряжения, то

σ_φ = рcos φ = σ cos² φ,

τ_φ = р sin φ = σ sin φ cos φ = σ sin 2φ /2.

При φ = 45° σ_φ = τ_φ = σ/2.

Максимального значения нормальные напряжения достигают при φ = 0, т.е. в поперечных сечениях σ_φ = σ – касательные при φ = 45°. При φ = 90° σ_φ = 0, τ_φ = 0.

В продольных сечениях бруса нет ни касательных, ни нормальных напряжений. Из сказанного следует, что, говоря о напряжении в данной точке, всегда необходимо указывать положение секущей плоскости, в которой это напряжение возникает.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, возникающих в бесчисленном множестве различно ориентированных площадок, проходящих через данную точку, характеризует напряженное состояние в данной точке.

Площадки, в которых касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками, а возникающие в них нормальные напряжения – главными напряжениями.

Теория упругости доказывает, что в общем случае напряженного состояния в зоне исследуемой точки могут существовать три взаимно перпендикулярные главные площадки. В зависимости от количества таких площадок (σ ≠ 0) различают три основных вида напряженного состояния: линейное (одноосное) (рис. 3.2.10, а), плоское (двухосное) (рис. 3.2.10, б) и объемное (трехосное) (рис. 3.2.10, в). В дальнейшем нас будут интересовать только первые два вида напряженного состояния.

Рис. 3.2.10

Тема 4. Сдвиг

Сдвигом (срезом) называется такой вид деформации, при которой в любом поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила. На сдвиг работают заклепки, болты шарнирных соединений, цапфы крепления стоек шасси, пальцы соединения тяг, поршневые пальцы, стенки лонжеронов крыла и другие элементы конструкций. Простейшим примером сдвига является резание ножницами. При сдвиге поперечные сечения бруса смещаются, оставаясь в параллельных плоскостях.

Экспериментально чистый сдвиг может быть осуществлен при кручении тонкостенной трубы (рис. 3.2.11, а).

Рассмотрим элемент abcd, вырезанный из тонкостенной трубы (рис.3.2.11, б).

П ри возникновении касательных напряжений элемент перекашивается. Если считать грань ad закрепленной, то грань bc сдвинется в положение b'c'. Все прямые углы между гранями изменятся на одну и ту же величину g. Угол g, представляющий изменение первоначального прямого угла между гранями элементарного параллелепипеда, называется углом сдвига.

Опыты показывают, что при сдвиге справедлив закон Гука, т.е.

, (3.2.11)

где G – модуль упругости при сдвиге (модуль упругости второго рода), Н/мм²;

Е – модуль продольной упругости, Н/мм².

Модуль упругости при сдвиге связан с модулем упругости при растяжении соотношением

G = , (3.2.12)

где  – коэффициент Пуассона.

Для стали обычно принимают G = 0,4Е при  = 0,25.

Если напряжения при сдвиге превосходят предел прочности материала, происходит разрушение, называемое срезом.

Напряженное состояние прямоугольного параллелепипеда, на четырех гранях которого действуют только одни касательные напряжения, называется чистым сдвигом.

Условие прочности при сдвиге

_max = ≤ [τ] (3.2.13)

позволяет решать три типа задач:

1. Проектный расчет:

.

2. Определение допускаемой нагрузки:

Q  []A.

3. Проверка прочности:

_max  .

Смятие. Деформации сдвига (среза) часто сопровождаются смятием. Характерным для смятия является действие сжимающей силы на сравнительно малом участке. Деформация возникает только на поверхностях соприкосновения сжимаемых тел и не распространяется на большую глубину.

Для обеспечения надежной работы деталей, воспринимающих сжимающие нагрузки, необходимо производить проверочный расчет на смятие по формуле

s_см = < [s_cм], (3.2.14)

где [s_cм] = (2…2,5) [s_cж], здесь [s_cж] – допускаемое напряжение на сжатие.

Проверка на смятие производится для более мягкого материала, если соприкасающиеся тела сделаны из разных материалов (рис. 3.2.12).

Рис. 3.2.12

Пример. Проверьте на прочность болт, соединяющий тягу управления с качалкой (рис. 3.2.13), если сила (Р) равна 3,5 кН, диаметр болта (d) составляет 6 мм, допускаемое напряжение для материала болта [t] =160 МПа (срез по двум плоскостям).

Р ешение. Из условия прочности на срез t_ср = < [t_ср], определяем рабочее напряжение по формуле

t = ,

где A= – площадь поперечного сечения двух срезов;

t = = 62 МПа.

Прочность болта достаточная, так как t < [t].