Тема 9. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела

Уравнения плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступательное и вращательное. Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Р ассмотрим сечение тела какой-нибудь плоскостью OXY, параллельной неподвижной плоскости П (рис. 3.1.60). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой АА₂, перпендикулярной к сечению, т.е. к плоскости П, движутся тождественно. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение тела в плоскости OXY. В дальнейшем плоскость OXY будем совмещать с плоскостью рисунка, а вместо всего тела изображать только его сечение.

П оложение сечения в плоскости OXY определяется положением какого-нибудь проведенного в этом сечении отрезка АВ (рис. 3.1.61). Положение отрезка АВ можно определить, зная координаты x_А, y_А точки А и угол φ, который отрезок АВ образует с осью x.

Точку А, выбранную для определения положения сечения, называют полюсом.

При движении тела величины x_А, y_А и φ будут меняться:

x_А = f₁(t), y_А = f₂ (t), φ = f₃ (t). (3.1.74)

Уравнения (3.1.74), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

П лоскопараллельное движение можно представить состоящим из поступательного и вращательного движений. Сечение тела (рис. 3.1.62) можно переместить из одного положения в другое, переместив сначала поступательно и затем повернув на угол φ вокруг оси, проходящей через полюс (точку А).

Следовательно, плоскопараллельное движение тела слагается из поступательного движения, в котором все точки тела движутся так же, как полюс, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

За полюс можно выбрать любую точку, движение которой известно. При этом поступательное движение зависит от выбора полюса, а величина угла поворота и направление поворота от выбора полюса не зависят (см. рис. 3.1.62).

Скорости точек тела при плоскопараллельном движении

Теорема 1. Абсолютная скорость ( ) любой точки плоской фигуры в каждый данный момент равна геометрической сумме двух скоростей: скорости ( ) произвольно выбранного полюса в поступательном движении плоской фигуры и вращательной скорости ( ) во вращательном движении фигуры относительно полюса.

Положение любой точки В тела можно определить равенством (рис. 3.1.63)

.

В зяв производную от обеих частей уравнения по времени получим,

,

где – искомая скорость;

– скорость полюса;

– скорость точки В при вращательном движении тела вокруг полюса А при .

Таким образом

, (3.1.75)

, V_BA = ω AB.

Теорема 2. Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны и имеют одинаковый знак (рис. 3.1.64). Зная, что , спроецируем данное выражение на прямую АВ, тогда

V_В cos β = V_А cosα. (3.1.76)

Теорема 3. Плоская фигура в каждый момент времени имеет одну точку, абсолютная скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС), обозначим ее буквой Р (рис. 3.1.65). Докажем существование МЦС.

Пусть скорость V_А и ω заданы. Повернем полупрямую АI на 90 в сторону вращения плоской фигуры. Отложим отрезок АР = V_A/ω, тогда точка Р и будет искомой:

V_PA = АР·ω = ,

| .

П ри движении плоской фигуры положение МЦС непрерывно меняется. Графически МЦС находится, как точка пересечения перпендикуляров, восстановленных из двух точек к направлениям их скоростей (рис. 3.1.66):

V_A = PA·ω; ω = .

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от них до мгновенного центра скоростей.

Е сли за полюс выбран МЦС, то скорость любой точки плоской фигуры есть вращательная скорость вокруг МЦС. Модуль скорости пропорционален расстоянию от точки до МЦС (рис. 3.1.67).

Зная для данного момента времени положение МЦС и скорость какой-либо точки В плоской фигуры, можно определить угловую скорость и скорость любой точки плоской фигуры (рис. 3.1.68).

Если известны скорость одной точки А по модулю и направлению и направление скорости другой точки В, то можно определить скорости всех точек плоской фигуры (рис. 3.1.69). Для этого необходимо найти положение МЦС, проведя перпендикуляры к векторам скоростей V_A и V_B, затем определить ω по формуле

 = ,

после чего найти скорости точек по формулам:

V _B = PB, V_C = PC ω.

Частные случаи определения положения МЦС. Известны направления скоростей двух точек. Рассмотрим этот случай на примере кривошипно-шатунного механизма (рис. 3.1.70). Направления скоростей точки А кривошипа и ползуна В известны. МЦС должен лежать в точке пересечения перпендикуляров к направлениям скоростей этих точек. Эта точка в бесконечности. Точка А принадлежит кривошипу и ее скорость V_А = OAω, но точка А также принадлежит и шатуну АВ. Выберем точку А за полюс, тогда , спроецируем на прямую АВ:

V _В cos α = V_А cos α; |V_В| = |V_А|.

Спроецируем векторное равенство на перпендикуляр к АВ:

V_В sin α = V_А sin α + V_ВА  V_ВА = 0,

V_ВА = AB·ω_АВ  ω_АВ = 0.

Шатун АВ совершает мгновенно-поступательное движение.

Следовательно, если угловая скорость плоской фигуры равна нулю, то МЦС удален в бесконечность и тело совершает мгновенно-поступательное движение. Скорости всех точек плоской фигуры равны по величине и направлению.

Если скорости двух точек плоской фигуры параллельны между собой и перпендикулярны линии, соединяющей эти точки, то МЦС можно найти из условия пропорциональности скоростей точек расстояниям от этих точек до МЦС (рис. 3.1.71).

Рис. 3.1.71

При качении без скольжения одного тела по поверхности другого неподвижного тела МЦС совпадает с точкой соприкосновения тел, так как при отсутствии скольжения скорость точки соприкосновения равна нулю (рис. 3.1.72).

Рис. 3.1.72

Определение ускорений точек тела. Абсолютное ускорение любой точки В плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса А и ускорения точки В во вращательном движении фигуры вокруг полюса (рис. 3.1.73):

. (3.1.77)

Движение плоской фигуры задано:

X _А = f₁(t); Y_A = f₂(t); φ = f₃(t);

V_A = , , .

Ускорение точки В во вращательном движении вокруг полюса найдем по формулам (3.1.71) и (3.1.72):

= tg α =

или

= BA·ω² и = ВА·ε.

Вектор всегда направлен от точки В к полюсу А, вектор направлен перпендикулярно ВА в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное.

Тогда вместо равенства (3.1.77) получим

. (3.1.78)

П ример. Центр колеса, катящегося по прямой, имеет в данный момент скорость V₀ = 1 м/с и ускорение = 2 м/с² . Радиус колеса (R) равен 0,2 м. Определите ускорение точки В – конца перпендикулярного ОР диаметра АВ и ускорение точки Р, совпадающей с мгновенным центром скоростей (рис. 3.1.74).

Решение. V₀ и известны, поэтому принимаем точку О за полюс. Определяем ω. Точка касания Р является мгновенным центром скоростей, следовательно,

ω =

Так как величина РO = R остается постоянной при любом положении колеса, то, найдя производную от ω, получим

ε =

Знаки ω и ε совпадают, следовательно, вращение колеса ускоренное. Следует помнить, что ε определяется таким образом только в том случае, когда РO – величина постоянная.

Определяем и . Так как за полюс взята точка О, то

.

= BО·ε; = = 2 м/с², = ВО·ω² = = 5 м/с².

И зобразим все ускорения, приложенные в точке В (рис. 3.1.75).

Проведя оси Вх и Вy, находим м/с², м/с², откуда м/с².

А налогично находится и ускорение точки Р (рис. 3.1.76):

, Р₀·ε = =2 м/с², 5 м/с².

Ускорение точки Р, скорость которой в данный момент равна нулю, нулю не равно.