4. Вращательное движение твёрдого тела

4.1. Кинетическая энергия вращательного движения. Момент инерции

Рассмотрим случай вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. При таком движении все точки твёрдого тела движутся по окружностям, центры которых находятся на оси вращения — рис. 4.1. Что же касается точек, расположенных на оси вращения, то они остаются неподвижными.

Для нахождения кинетической энергии вращательного движения разобьём тело на n материальных точек. Кинетическая энергия i-ой материальной точки

Рис. 4.1

Линейные скорости различных точек вращающегося твёрдого тела различны, а угловые скорости одинаковы, поэтому , следовательно,

.

Просуммируем последнее выражение по всем материальным точкам:

.

Введём величину

,

(4.1)

которая называется моментом инерции. С учётом (4.1) кинетическую энергию вращательного движения твёрдого тела можно представить в виде:

.

(4.2)

Рис. 4.2

Из сопоставления (4.2) и (3.3) видно, что во вращательном движении момент инерции играет такую же роль, что и масса при поступательном движении. По этой аналогии моменту инерции можно придать следующий физический смысл: момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Момент инерции тела зависит от его массы и формы, а также от выбора оси вращения.

Собственной осью вращения называется ось, проходящая через центр масс тела (ось СС — рис.4.2). Момент инерции тела относительно собственной оси вращения называется собственным.

Для определения момента инерции тела относительно произвольной оси применяется теорема Штейнера:

Момент инерции I относительно оси, параллельной оси собственного вращения, равен собственному моменту инерции I₀ плюс произведение массы тела на квадрат расстояния до оси вращения — рис. 4.2:

I = I0 + ml2.

(4.3)

4.2. Основной закон динамики вращательного движения

Рис. 4.3

Для вывода этого закона рассмотрим простейший случай вращательного движения материальной точки. Разложим силу , действующую на материальную точку на две составляющие: нормальную — и касательную — (рис. 4.3). Нормальная составляющая силы приведёт к появлению нормального (центростремительного) ускорения: ; , где r = ОА — радиус окружности.

Касательная сила вызовет появление касательного ускорения. В соответствии со вторым законом Ньютона F_=ma_ или F cos =ma_.

Выразим касательное ускорение через угловое: a_=r. Тогда F cos =mr. Умножим это выражение на радиус r: Fr cos =mr². Введём обозначение r cos  = l, где l — плечо силы, т.е. длина перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы. Поскольку mr²=I — момент инерции материальной точки, а произведение =Fl=M — момент силы, то

M = I.

(4.4)

Получили основной закон динамики вращательного движения: момент силы равен произведению момента инерции на угловое ускорение. Этот закон аналогичен второму закону Ньютона в форме (2.1).

Замечая, что =d/dt, из (4.4) получаем:

; ; .

(4.5)

Произведение момента силы М на время её действия dt называется импульсом момента силы. Произведение момента инерции I на угловую скорость  называется моментом импульса тела: L=I. Тогда основной закон динамики вращательного движения в форме (4.5) можно сформулировать следующим образом: импульс момента силы равен изменению момента импульса тела. В такой формулировке этот закон аналогичен второму закону Ньютона в виде (2.2).