13. Стоячие волны

Частным случаем интерференции является образование стоячих волн. Стоячие волны возникают при интерференции двух встречных когерентных волн с одинаковой амплитудой. Такая ситуация может возникнуть при отражении волны от преграды и наложении её на падающую волну.

Падающая волна описывается уравнением

.

Уравнение отражённой волны

.

Разность фаз интерферирующих волн

(13.1)

Результирующую амплитуду колебаний при наложении волн в точке пространства с координатой х найдём по формуле (8.1), заменив в ней разность фаз по (13.1). Имеем

Пусть x₁, x₂, …, x_k — координаты точек, для которых разность фаз (k = 0, 1, 2,...). Тогда

A_p=2Acosk = 2A1= 2A

т.е. для таких точек выполняется условие максимума — в этих точках результирующая амплитуда равна удвоенной амплитуде одной из волн. Эти точки называются пучностями. Координаты пучностей (k = 0, 1, 2,...). Расстояние между соседними пучностями равно половине длине волны: .

В точках x₁, x₂, …, x_k, где , результирующая амплитуда

A_p = 2Acos(2k+1)/2  = 0,

т.е. для этих точек выполняется условие минимума. Эти точки называются узлами. Координаты узлов: x_k=(2k+1)/4. Расстояние между соседними узлами равно:

Характерные особенности стоячей волны следующие: точки, лежащие по разные стороны от данного узла, колеблются в противофазе, а во всех точках, расположенных между двумя соседними узлами колебания происходят в одной и той же фазе (синфазно) — рис. 13.1. В стоячей волне в отличие от бегущей нет переноса энергии, а происходят локализованные в пространстве процессы превращения энергии из одного ее вида в другой.

Рис. 13.1

В качестве примера образования стоячих механических волн можно привести стоячие волны, возникающие на колеблющихся струнах музыкальных инструментов. При этом на концах струны располагаются узлы, а между ними размещается одна или несколько пучностей. Стоячие волны (сейши) иногда образуются в закрытых водоёмах.

14. Эффект Допплера в акустике

Звуковыми волнами называют упругие волны с частотами от 16 до 20000 Гц, воспринимаемые органами слуха человека.

Звуковые волны в жидких и газообразных средах являются продольными. В твёрдых телах могут распространяться как продольные, так и поперечные звуковые волны.

Эффект Допплера состоит в изменении частоты звуковых колебаний при движении источника или приёмника относительно среды, в которой распространяются звуковые волны.

Обозначим: с — скорость звука в данной среде; u и v — скорости соответственно источника и приёмника относительно среды.

Различные частные случаи движения источника и приёмника приведены в таблице.

Сделаем необходимые комментарии.

В случае 2 приёмник движется навстречу источнику: скорость звука относительно приёмника становится . Формула (14.2) получается из (14.1) заменой . Если же приёмник удаляется от источника, то производим замену .

В случае 3 источник движется навстречу приёмнику. Пока волна проходит по направлению к приёмнику расстояние, равное длине волны источник успевает сместиться на расстояние, где Т — период колебаний. Источник как бы "сжимает" волну в направлении своего движения и её длина будет

.

Формула (14.4) получается из (14.1) заменой .

В формуле (14.6) (общий случай) верхний знак берётся в случае сближения приёмника и источника, а нижний — в случае удаления.

Эффект Допплера имеет место также для световых волн. Он используется для определения скорости различных движущихся тел, начиная от астрономических объектов (звёзд и галактик) и заканчивая судами и автотранспортом.

Таблица

№	Движение источника или приёмника	Частота
1			(14.1)
2			(14.2)
			(14.3)
3			(14.4)
			(14.5)
4			(14.6)