16. Распределение молекул по скоростям

Рис.16.1

Предположим, что нам удалось измерить скорости всех молекул газа в некоторый момент времени, т.е. получить их значения . Нанесём их на ось скоростей в виде точек. Как видно из рис. 16.1, распределение точек на оси будет неравномерным — в области больших и малых скоростей они располагаются сравнительно редко, а большинство из них группируется вблизи некоторого промежуточного значения.

Подсчитаем число молекул dN, скорости которых попадают внутрь интервала скоростей от v до (рис. 16.1). Очевидно, что dN пропорционально общему числу молекул N и ширине интервала dv. Кроме того, dN зависит от того, у какого значения скорости выбран интервал шириной dv (как видно из рис. 16.1, если продвигать этот интервал, не меняя его ширины, вдоль оси v, то число точек, попадающих внутрь этого интервала, будет изменяться). Таким образом, dN пропорционально некоторой функции f(v). В итоге

.

(16.1)

Из (16.1) следует

.

(16.2)

Функция является функцией распределения молекул по скоростям. Для единичного интервала скоростей (dv =1) f(v) = dN/N, т.е. функция распределения численно равна доле молекул, скорости которых попадают внутрь единичного интервала скоростей при заданном значении скорости.

Явный вид функции распределения был найден Максвеллом в 1860 г.:

.

(16.3)

График функции показан на рис. 16.2.

Рис. 16.2	Рис. 16.3

С помощью этого графика можно найти относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv. Для этого нужно найти площадь заштрихованной фигуры (рис. 16.2), которую приближенно можно заменить прямоугольником со сторонами f(v) и dv. С учётом (16.2) имеем

,

что и требовалось доказать.

Из рис. 16.2 видно, что при той же ширине интервала скоростей наибольшая площадь получается вблизи скорости, соответствующей максимуму функции распределения. Эта скорость называется наиболее вероятной. Значение наиболее вероятной скорости можно найти из условия . Используя это условие, из (16.3) можно получить:

.

(16.4)

Отметим, что с повышением температуры наиболее вероятная скорость возрастает, поэтому с ростом температуры максимум функции распределения смещается в область больших скоростей. При этом возрастает также доля молекул, обладающих большими значениями скоростей — рис. 16.3.

С помощью функции распределения f(v) можно найти среднее значение скорости v_ср и квадрат среднеквадратичной скорости :

;

(16.5)

.

(16.6)

Подставив сюда f(v) из (16.3), получим:

;

(16.7)

.

(16.8)

Формулу (16.8) проще получить, если учесть, что средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул , откуда

.

(16.9)

Из выражений (16.4), (16.7) и (16.9) видно, что . Отношение этих скоростей . Заменим в формулах (16.4), (16.7) и (16.9) отношение k/m на

,

где  — молярная масса, т.е. масса одного моля газа. Тогда формулы (16.4), (16.7) и (16.9) примут вид, удобный для практических расчётов: