2.2. Закон сохранения импульса

Рассмотрим вывод закона сохранения импульса на основе второго и третьего законов Ньютона.

Рис. 2.2

Пусть имеется система из трёх взаимодействующих материальных точек (рис.2.2). На каждую материальную точку этой системы действуют как внутренние, так и внешние силы. Применим к каждой из материальных точек второй закон Ньютона:

где и — совокупность внутренних и внешних сил соответственно (i=1, 2, 3).

Сложим эти уравнения:

.

(2.3)

При сложении учтено, что векторная сумма всех внутренних сил равна нулю, поскольку по третьему закону Ньютона .

Из уравнения (2.3) следует, что изменение суммарного импульса системы равно суммарному импульсу внешних сил. Если же система замкнута, т.е. внешние силы отсутствуют, то

.

В общем случае для замкнутой системы, состоящей из n материальных точек

.

(2.4)

Формула (2.4) есть математическая запись закона сохранения импульса: импульс замкнутой системы материальных точек с течением времени не изменяется ни по величине, ни по направлению.

3. Работа и энергия

3.1. Работа

Работа есть мера действия силы, зависящая от значения и направления силы, а также от величины перемещения её точки приложения.

Если сила по значению и направлению, то при прямолинейном движении работа

,

(3.1)

Рис. 3.1

где  — угол между направлением силы и направлением перемещения (рис. 3.1).

Работа может быть как положительной, так и отрицательной: А>0, если 0<</2 и А<0, если /2>>. Если сила направлена перпендикулярно к перемещению (=/2), то работа не выполняется: А = 0. Если же сила ориентирована в направлении перемещения (=0), то работа максимальна.

Работа измеряется в джоулях: 1 Дж — это работа, которая выполняется силой в 1 Н на пути в 1 м: Дж = Нм.

Рис. 3.2

Если сила — переменная, то вначале вычисляют элементарную работу dA=Fdlcos, где  — угол между касательной к траектории в данной точке и направлением силы (рис. 3.2).

Суммарная работа на конечном участке траектории найдётся как интеграл по кривой С, совпадающей с траекторией:

.

3.2. Связь между работой и изменением кинетической энергии

Рис. 3.3

Пусть тело массой т движется вдоль оси х под действием силы F=const.

Такое движение будет ускоренным: начальное (в момент времени t₁) значение скорости изменится и к моменту времени t₂ станет равным (рис. 3.3).

В данном случае имеется двоякое проявление силы: с одной стороны, происходит изменение скорости тела, а с другой — выполняется некоторая работа. Найдём связь между выполненной над телом работой и изменением его скорости.

Работа А=Fl=mal. Так как при равноускоренном движении , то

.

(3.2)

Введём величину

,

(3.3)

которая называется кинетической энергией.

Кинетическая энергия есть энергия движущегося тела. Её величина определяется той работой, которую может совершить тело при его торможении вплоть до полной остановки.

Из (3.2) и (3.3) видно, что работа численно равна изменению кинетической энергии тела:

A=Wk2 – Wk1.

(3.4)

Формула (3.4) справедлива для любого вида сил, поскольку при её выводе не делалось никаких предположений об их природе.