10. Вынужденные колебания

В реальных условиях колеблющаяся система постепенно теряет энергию на преодоление сил трения, поэтому колебания являются затухающими. Чтобы колебания были незатухающими, необходимо каким-то образом подводить к колебательной системе энергию, восполняя ее потери.

Предположим, что на колеблющуюся систему действует внешняя (вынуждающая) сила, изменяющаяся по гармоническому закону:

F_вн = F₀ cos t,

где  — циклическая частота, F₀ — амплитудное значение силы. Результирующая сила найдётся как сумма

,

где — сила сопротивления, F_упр = -kx — квазиупругая сила. Таким образом,

.

Используя второй закон Ньютона F=ma и замечая, что , , получим

или

,

(10.1)

где  = r/2m — коэффициент затухания, — циклическая частота незатухающих (свободных) колебаний.

Уравнение (10.1) есть дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Решение этого уравнения будем искать в виде

x=A cos (t + ),

(10.2)

т.е., мы предполагаем, что система совершает гармонические колебания с частотой, равной частоте колебаний внешней силы.

Для нахождения амплитуды А вынужденных колебаний продифференцируем (10.2) дважды по времени. Имеем:

;

(10.3)

.

(10.4)

Подставляя (10.2) –(10.4) в (10.1), получим:

.

(10.5)

Из выражения (10.5) видно, что в результате сложения двух гармонических колебаний, сдвинутых по фазе на /2, получается гармоническое колебание с амплитудой F₀/m и начальной фазой, равной нулю. Для сложения колебаний используем метод векторных диаграмм. В §8 было показано, что при сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и одинакового направления результирующая амплитуда может быть найдена по формуле (8.1). В данном случае (см. выражение (10.5)):

;

.

Подставляя эти данные в формулу (8.1), получим:

,

отсюда

(10.6)

Рис. 10.1

Видно, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты внешней периодически действующей силы. При 0 AF₀/m₀: если же , то А0; при некотором значении =_p амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения — рис. 10.1.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней периодически действующей силы стремится к резонансной, называется резонансом. Частота _p, при которой наступает резонанс, называется резонансной.

Значение _p можно найти из условия, что при  =_p амплитуда A=max.

Это условие выполняется, если подкоренное выражение в (10.6) при =_p будет минимальным. Это означает, что первая производная по частоте от подкоренного выражения равна нулю:

.

Отсюда:

.

(10.7)

Из (10.7) видно, что резонанс наблюдается при частоте, меньшей, чем частота собственных колебаний системы.

Важной характеристикой резонансной кривой является её ширина, т.е. интервал частот  вблизи от резонанса, в пределах которого A 0,7A_p. Можно показать, что ширина резонансной кривой однозначно связана с коэффициентом затухания  соотношением =, что позволяет определять этот важный параметр колебательной системы по графику зависимости A().