3.3. Связь между работой и изменением потенциальной энергии
Рис.
3.4
по перемещению тела вблизи поверхности
Земли. При этом
=cоnst,
однако, в случае криволинейной
траектории мы должны рассматривать
работу силы
как работу переменной силы, поскольку
для разных точек траектории угол между
вектором
и направлением перемещения будет разный.
Поэтому вначале мы должны найти
элементарную работу
.
Из рис. 3.4 видно, что dl cos = dh, поэтому
dA= –mgdh. |
(3.5) |
Здесь введён знак "минус", поскольку при перемещении тела из точки 1 в точку 2 высота уменьшается, поэтому dA < 0.
Суммарную работу по перемещению тела из точки 1, расположенной на высоте h1, в точку 2, находящуюся на высоте h2, вычислим интегрированием выражения (3.5):
или
A = -(Wp2 – Wp1), |
(3.6) |
где Wp = mgh — потенциальная энергия тела на высоте h.
В общем случае потенциальная энергия является энергией взаимодействия, зависящей от взаимного положения тел или частей тела.
Из выражения (3.6) видно, что работа в поле тяжести Земли равна убыли потенциальной энергии. Эта работа не зависит от формы пути, в чём легко убедиться, проделав аналогичные выкладки для какой-нибудь другой траектории (пунктирная линий на рис. 3.4). Она определяется лишь выбором начальной и конечной точек (точки 1 и 2 на рис.3.4).
Теперь сделаем необходимые обобщения. Оказывается, что кроме сил тяжести в природе существуют и другие силы, работа которых не зависит от формы пути, а зависит лишь от выбора начального и конечного положения. Такие силы получили название консервативных (или потенциальных). К консервативным силам относятся гравитационные, электростатические, упругие силы и др. Система тел, в которой действуют только потенциальные силы, называется консервативной.
В случае замкнутого пути начальное и конечное положения совпадают, поэтому из выражения (3.6) следует, т.е. работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю.
Итак, формула (3.6), выведенная нами для частного случая сил тяжести, справедлива для любых консервативных сил. Однако её нельзя применять, для неконсервативных сил (например, сил трения). Поэтому эта формула имеет более узкие границы применимости по сравнению с формулой (3.4), которая справедлива как для консервативных, так и неконсервативных сил.
3.4. Закон сохранения механической энергии
Рассмотрим замкнутую консервативную систему тел. Это означает, что на тела системы не действуют внешние силы, а внутренние силы по своей природе являются консервативными.
Полной механической энергией системы называется сумма кинетической и потенциальной энергии всех тел, входящих в эту систему: W=Wk+Wp.
Пусть система переходит из состояния 1, характеризуемого значениями кинетической Wk1 и потенциальной энергии Wp1, в состояние 2 с энергиями Wk2 и Wp2. Изменение полной механической энергии такой системы
W2 – W1=(Wk2+Wp2) — (Wk1+ Wp1)=(Wk2 — Wk1) + (Wp2 — Wp1).
Используя соотношения (3.4) и (3.6), получим:
W2 – W1=A — A=0; W2 = W1; W=const. |
(3.7) |
Мы получили закон сохранения механической энергии: механическая энергия замкнутой консервативной системы с течением времени остаётся постоянной.
Если в замкнутой системе действуют неконсервативные силы (например, силы трения), то механическая энергия может переходить в другие виды энергии (например, в тепловую). Однако и в этом случае с учётом всех видов энергии в изолированной системе выполняется один из наиболее фундаментальных законов природы — закон сохранения энергии: в замкнутой системе энергия может переходить из одного вида в другие, однако её общее количество остается постоянным.
Если система незамкнута, то она может обмениваться энергией с окружающими телами. При этом энергия системы может либо возрастать, либо убывать. Убыль энергии системы компенсируется её ростом в окружающей среде, т.е. в системе тел, не входящих в рассматриваемую систему.