17. Барометрическая формула
Рассмотрим поведение идеального газа в поле силы тяжести. Как известно, по мере подъёма от поверхности Земли давление атмосферы уменьшается.
Найдём зависимость давления атмосферы от высоты над уровнем моря, используя следующую упрощённую модель:
Температура газа и его молекулярный состав не зависят от высоты;
Ускорение свободного падения на всех высотах, где существует атмосфера, постоянно.
Рис.
17.1
-dP = gdh, |
(17.1) |
где — плотность атмосферы на высоте h.
Из уравнения
Менделеева – Клапейрона
следует:
|
(17.2) |
.Подставляя (17.2) в (17.1) и разделяя переменные, получим
Проинтегрируем последнее выражение, считая g=const, T=const:
|
(17.3) |
,
где Р и Р0 — давление атмосферы на высоте h и h0 соответственно.
Формула (17.3) выражает зависимость давления атмосферы от высоты и называется барометрической формулой. Если в (17.3) положить h0 = 0, т.е. высоту отсчитывать от уровня моря, то барометрическая формула примет вид
Рис.
17.2
|
(17.4) |
.
График зависимости Р от h показан на рис. 17.2. Следует отметить, что несмотря на значительное число упрощений, формула (17.4) достаточно хорошо описывает изменение атмосферного давления с высотой и применяется для определения высоты полёта.
18. Распределение Больцмана
Выразим давление газа на высотах h и h0 через соответствующее число молекул в единице объёма п и п0, считая, что на разных высотах T=const:
P = nkT; |
(18.1) |
P0 = n0kT. |
(18.2) |
Преобразуем далее показатель степени в (17.3) следующим образом:
|
(18.3) |
.
где Wp — изменение потенциальной энергии молекулы при изменении высоты в поле тяжести Земли.
Подставляя (18.1) – (18.3) в (17.3), получим
|
(18.4) |
.
Это и есть распределение Больцмана для частиц, находящихся в потенциальном поле. Хотя эта формула выведена нами для частного случая распределения молекул в поле тяжести Земли, она имеет универсальный характер — описывает распределение частиц по энергиям в любом потенциальном поле (например, для зарядов в электростатическом поле).
Если потенциальную энергию отсчитывать от нуля, то
|
(18.5) |
.
Рис.
18.1
Іv. Основы термодинамики
19. Основные понятия термодинамики
1. Термодинамическая система — совокупность макроскопических тел, обменивающихся энергией между собой и окружающей средой.
2.Состояние термодинамической системы определяется совокупностью значений ее термодинамических параметров (параметров состояния) — всех физических величин, характеризующих макроскопические свойства системы (давление, объем, температура и др.). Связь между термодинамическими параметрами определяется уравнением состояния. Так, для идеального газа уравнение состояния — это уравнение Менделеева-Клапейрона.
3. Состояние термодинамического равновесия есть обобщение понятия механического равновесия и формулируется следующим образом. В системе, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, должны быть равны давление во всех её частях (условие механического равновесия) и температуры (условие термического равновесия).
4. Термодинамический процесс — изменение состояния термодинамической системы, характеризующееся изменением её параметров состояния.
5. Равновесный процесс — бесконечная последовательность состояний равновесия.
6. Внутренняя энергия — суммарная кинетическая и потенциальная энергия взаимодействия всех частиц (атомов или молекул) тела.
Для идеального газа потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь, поэтому внутренняя энергия идеального газа полностью определяется кинетической энергией всех его молекул, находящихся в некотором ограниченном объёме. Внутренняя энергия идеального газа может быть найдена как произведение средней кинетической энергии wср движения молекул на их число. Поскольку wср зависит лишь от температуры (см. формулу (15.11)), то можно утверждать, что внутренняя энергия идеального газа полностью определяется его температурой.
6. Работа есть количественная мера превращения энергии хаотического движения молекул или направленного движения тел в энергию направленного движения макроскопических тел. Схематически такой процесс превращения энергии показан на рис. 19.1.
Процесс 1 сопровождается выполнением механической работы, которая численно равна изменению кинетической энергии тела (3.4).
|
|
Рис. 19.1 |
Рис. 19.2 |
Рассмотрим пример, в котором иллюстрируется протекание процесса 2 При расширении газа энергия хаотического движения молекул переходит в энергию поступательного (направленного) движения поршня (рис. 19.2), за счёт чего совершается работа. Если поршень переместится на расстояние dx, то элементарная работа dA=Fdx, где F=PS — сила давления газа на поршень сечением S. Таким образом,
dA=PdV, |
(19.1) |
где dV=Sdx — изменение объёма газа.
Формула (19.1) есть термодинамическое выражение для элементарной работы. Полная работа при расширении газа от объема V1 до объёма V2 определяется формулой
|
(19.2) |
.
Рис.
19.3
Будем считать работу положительной (А>0), если система выполняет работу над внешними телами. Если же внешние тела совершают работу над системой, то она отрицательна (А<0).
Теплота есть количественная мера превращения энергии направленного или хаотического движения в энергию хаотического движения (рис. 19.3).
Процесс 1 происходит при торможении тел под действием силы трения. Такой процесс сопровождается превращением энергии направленного движения (кинетической энергии) тела в энергию хаотического движения частиц окружающей среды, что эквивалентно передаче ей некоторого количества теплоты. Такое же превращение энергии наблюдается в процессе, обратном показанному на рис. 19.2 (т.е. в процессе сжатия газа).
Процесс превращения энергии хаотического движения в энергию хаотического движения (канал 2 на рис. 19.3) есть не что иное, как процесс передачи теплоты от горячего тела к холодному.