III. Молекулярная физика
Молекулярная физика — это раздел физической науки, исследующий физические свойства и агрегатные состояния физических тел в зависимости от их молекулярного строения, характера теплового движения молекул и сил взаимодействия между ними.
15. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
Рассмотрим в качестве простейшей физической модели идеальный газ. Идеальным называется такой газ, для которого выполняются следующие условия:
размеры молекул настолько малы, что их можно рассматривать как материальные точки;
потенциальная энергия взаимодействия между молекулами равна нулю при любом расстоянии между ними — лишь в момент столкновения между молекулами возникают упругие силы отталкивания.
Хаотическое движение молекул газа можно представить как движение 1/3 общего их числа в направлении оси x, 1/3 — вдоль оси y, 1/3 — вдоль оси z. При этом в положительном направлении оси движется 1/2 соответствующего числа молекул, т.е. 1/6 часть — рис. 15.1.
|
|
Рис. 15.1 |
Рис. 15.2 |
Подсчитаем теперь число молекул, которые пересекают площадку сечением S, ориентированную перпендикулярно к оси х, за время dt — рис. 15.2. Для упрощения выкладок будем считать, что скорости всех молекул одинаковы и равны некоторому значению v. Число молекул dN, пересекающих площадку в положительном направлении оси х, очевидно, пропорционально площади S, числу молекул п в единице объёма, их скорости v, а также времени dt:
|
(15.1) |
.
Заменим теперь воображаемую площадку S стенкой сосуда. При ударе молекулы о стенку направление её скорости изменяется на противоположное, поэтому изменение импульса молекулы
|
(15.2) |
.
Импульс, сообщённый стенке за счёт dN ударов, найдём перемножением выражений (15.1) и (15.2):
|
(15.3) |
.
Сила давления,
возникающая за счёт ударов молекул о
стенку сосуда, находится по второму
закону Ньютона
,
а давление
.
В результате получим:
|
(I5.4) |
.
Если учесть, что молекулы движутся с различными скоростями, то в формуле (15.1) v нужно заменить на среднюю скорость vср:
,
а в формуле (15.4) v2 на среднюю квадратичную скорость
.
В результате получим:
|
(15.5) |
|
(15.6) |
;
.
Введём в рассмотрение среднюю кинетическую энергию хаотического движения молекул
|
(15.7) |
.
С учётом (15.7) выражение (15.6) можно переписать в виде:
|
(15.8) |
.
Формула (15.8) есть основная формула молекулярно-кинетической теории газов для давления. Видно, что давление газа пропорционально средней энергии хаотического движения молекул.
Заменив в формуле (15.8) число молекул в единице объёма n на общее число молекул в объёме N=nV, получим:
|
(15.9) |
.
Правая часть этого выражения остаётся величиной постоянной, если температура газа Т =const, поэтому PV=const.
Таким образом, получен закон Бойля-Мариотта, который, как известно, является частным случаем уравнения Менделеева-Клапейрона при Т = const. Для одного моля газа это уравнение имеет вид:
PV0=RT, |
(15.10) |
где V0 — объём одного моля газа; R — универсальная газовая постоянная.
Если теперь записать уравнение (15.9) для одного моля:
,
где NA — число Авогадро, и сравнить его с уравнением Менделеева-Клапейрона (15.10), то
.
Из последнего уравнения следует
.
Отношение двух универсальных констант R и NA есть также универсальная постоянная. Эта постоянная обозначается буквой k и называется постоянной Больцмана: k=R/NA.
Таким образом, средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул пропорциональна температуре
|
(15.11) |
.
Формула (15.11) есть основная формула молекулярно-кинетической теории газов для энергии молекулы. С помощью этой формулы можно дать молекулярно-кинетичеcкое толкование температуры. Поскольку T wср, то можно сказать, что температура есть величина, пропорциональная средней кинетической энергии хаотического теплового движения молекул. Заметим, что понятие температуры справедливо для равновесных систем, состоящих из очень большого числа частиц.
В заключение параграфа найдём связь между давлением газа и температурой. Подставляя (15.11) в (15.8), получаем:
P=nkT. |
(15.12) |