6. Найти относительное число молекул, модуль скорости которых больше модуля средней скорости.

Решение. В данном случае интервал скоростей dv равен бесконечности (от средней скорости до ∞) и непосредственно использовать формулу (4.34) нельзя. Но, интегрируя уравнение (4.34) в указанных пределах, получаем искомое относительное число молекул:

(4.36)

где и N₁ – число молекул из данных N, модуль скорости которых больше средней скорости.

Представим последний интеграл из (4.36) в виде

Первый интеграл справа (по условиям нормировки (4.25)) равен единице:

Для вычисления второго интеграла произведем в нем замену переменного, положив . Тогда

(4.37)

ибо

Проинтегрировав (4.37) по частям, сведем последний интеграл к интегралу ошибок

для значений которого составлены специальные таблицы. Мы получаем

Из таблиц находим значение интеграла ошибок Ф(1,13)=0,89. Следовательно, относительное число молекул, модуль скорости которых больше средней скорости, составляет

Таким образом, половина молекул имеет модуль скорости меньше средней, а другая половина – больше средней скорости.

7. В сосуде объемом V=30 л находится т=100 г кислорода под давлением р=3·10⁵ Па. Определить наиболее вероятное значение кинетической энергии молекул кислорода.

Решение. Легко показать, что кислород в данных условиях можно считать идеальным газом. Вероятное значение кинетической энергии молекул, которой соответствует максимум кривой распределения Максвелла (4.33) молекул по кинетическим энергиям (рис. 4.5), можно определить из соответствующей функции распределения:

(4.38)

Таким образом, предложенная задача сводится к задаче о нахождении экстремума функции (4.38). Определив первую производную этой функции и прировняв ее к нулю, получим

Отсюда находим вероятное значение кинетической энергии молекул:

(4.39)

Температуру определим из уравнения Менделеева – Клапейрона

Используя (4.38) и (4.26), можно найти среднее значение кинетической энергии молекул (в поступательном движении):

Таким образом, среднее кинетическая энергия молекул идеального газа в три раза больше вероятного значения кинетической энергии: .

Заметим, что различие между средней скоростью молекул идеального газа и их вероятной скоростью менее значительно

2. Распределение Больцмана

Распределение Больцмана (4.29) для одномерного случая принимает вид

, (4.40)

где – число частиц из данных N в слое толщиной dx вблизи координаты х.

Применим распределение (4.40) к атмосфере Земли. Предположим, что температура воздуха в атмосфере Земли постоянная: T=const (случай изотермической атмосферы). Примем, что высота h атмосферы значительно меньше радиуса Земли R (h<<R) и, следовательно, в пределах атмосферы можно считать ускорение свободного падения постоянным (g=9,8 м/с²=const). Тогда потенциальная энергия молекулы массой m на высоте х от поверхности Земли U(x)=mgh.

Используя условие нормировки (4.25), определим постоянную В₁:

.

Отсюда .

Таким образом, число молекул в слое воздуха толщиной на высоте от поверхности Земли

.

Пусть элементарная площадка, перпендикулярная оси ОХ. Тогда, элемент объема, а выражение

– это давление атмосферы на поверхности Земли. Следовательно, в объеме на высоте х от поверхности Земли число молекул

.

Так как плотность молекул на высоте х, а плотность молекул вблизи поверхности Земли, то

.

Отсюда можно получить барометрическую формулу:

.

Стандартные задачи на распределение Больцмана (так же, как и при использовании распределения Максвелла) сводятся к определению средних физических величин и к нахождению числа частиц, обладающих некоторым свойством.

8. Найти среднюю потенциальную энергию молекул воздуха в поле тяготения Земли. На какой высоте от поверхности Земли потенциальная энергия молекул равна средней потенциальной энергии? температуру воздуха считать постоянной и равной 0^оС.

Решение. Газ (воздух) находится в поле тяготения Земли. Следовательно, его молекулы распределены по энергиям согласно функции распределения Больцмана

,

где потенциальная энергия молекулы.

Если известна функция f распределения молекул по какому-либо параметру l (скорости v, импульсу р, энергии Е), то среднее значение некоторой физической величины, являющейся функцией от этого параметра , определяется по формуле

.

В нашем случае . Таким образом, среднее значение потенциальной энергии молекул воздуха в поле тяготения Земли

. (4.41)

В выражении (4.41) знаменатель ,

а числитель .

Следовательно, .

Теперь находим высоту h, на которой потенциальная энергия молекул воздуха равна средней потенциальной энергии: или . Отсюда

.