2. Законы сохранения в динамике твердого тела

Элементарная работа при повороте твердого тела на угол составляет

, (2.48)

где М – момент сил относительно оси вращения.

Полная работа находится интегрированием уравнения (2.48):

. (2.49)

кинетическая энергия твердого тела при его произвольном движении складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения:

, (2.50)

где скорость поступательного движения центра масс,

I – момент инерции тела относительно оси вращения.

В динамике твердого тела наряду с законами сохранения импульса и энергии в механике применяется закон сохранения момента импульса. Этот закон вытекает из уравнения движения (2.44) относительно точки:

если геометрическая сумма моментов внешних сил относительно точки О равна нулю, то момент импульса относительно этой точки постоянен: . (2.51)

Чаще закон сохранения момента импульса используют в форме, вытекающей из уравнения движения (2.45) относительно неподвижной оси:

если алгебраическая сумма моментов внешних сил относительно неподвижной оси равна нулю, то момент импульса системы относительно этой оси постоянен:

, (2.52)

где алгебраическая сумма моментов импульса всех тел системы.

Метод применения законов сохранения в динамике твердого тела осуществляется по той же схеме, которая была описана в динамике материальной точки.

5. Деревянный стержень массой М=6 кг и длиной l=2 м может вращаться в вертикальной плоскости относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис. 2.14). В конец стержня попадает пуля массой т₀=10 г, летевшая со скоростью v₀=10³ м/с, направленной перпендикулярно стержню и оси, и застревает в нем. Определить кинетическую энергию стержня после удара.

Решение. Физическую систему образуем из двух тел: стержня и пули. Пулю можно считать за материальную точку, стержень примем за твердое тело. Физическое явление заключается во взаимодействии этих тел (абсолютно неупругий удар). Состояние системы до взаимодействия известно, необходимо определить некоторый параметр системы (кинетическую энергию) после взаимодействия.

Характер сил, возникающих в процессе взаимодействия, нам не известен. Поэтому решить задачу динамическим методом невозможно. Применим законы сохранения. Пуля до взаимодействия двигалась прямолинейно, а после взаимодействия вместе со стержнем вращается вокруг неподвижной оси. Целесообразно применить закон сохранения момента импульса относительно этой оси. Условия применимости этого закона выполнены.

ИСО, как обычно, свяжем с Землей, начало координат поместим в точку О, а ось вращения примем за ось ОХ. Момент импульса пули относительно оси вращения до удара равен , а стержня – нулю. После удара момент импульса стержня и пули равен , где I – момент инерции стержня и пули относительно оси вращения, а угловая скорость вращения стержня и пули после удара. Так как момент инерции пули значительно меньше момента инерции стержня , то можно приближенно считать, что . По закону сохранения момента импульса,

.

Кинетическая энергия стержня

Дж. (2.53)

Заметим, что начальная кинетическая энергия пули (до удара) , т.е. Дж, что значительно больше кинетической энергии стержня после удара. В результате неупругого удара большая часть начальной механической энергии превратилась в немеханические виды энергии. В процессе взаимодействия возникли огромные неконсервативные силы, которые и рассеяли механическую энергию системы. Поэтому неправильно было бы в этой задаче непосредственно применять закон сохранения энергии в механике в виде . Неправильно было бы в этой задаче применять и закон сохранения импульса, ибо после удара стержень с пулей участвуют во вращательном движении. По этому закону мы получили бы , где . Отсюда, пренебрегая массой пули т₀ по сравнению с массой стержня М, находим . Тогда кинетическая энергия стержня после удара что составляет и почти на порядок меньше правильного результата (2.50).

Предположим, что нам необходимо определить, на какой максимальный угол от вертикали отклонится стержень после удара. После удара неконсервативных сил в системе нет и, следовательно, к дальнейшему процессу движения стержня и пули можно применить закон сохранения энергии в механике. По этому закону,

.

В этом выражении h – высота, на которую поднялся центр масс стержня, находящийся в точке А, после удара (рис. 2.15). Здесь учтено, что . Из треугольника ОВС (рис. 2.15) получаем

.

Решая полученную систему уравнений, находим

.