2. Метод анализа физической ситуации задачи

Любая физическая задача выражает какое-то физическое явление (или группу явлений). Соотношения между искомыми и известными физическими величинами содержатся внутри этого явления. Для того чтобы найти эти соотношения (которые должны составлять замкнутую систему уравнений), необходимо не только знать сущность данного явления, систему его физических параметров, законов и границ их применимости, но и уметь выделить все эти элементы в данной задаче. Практически физический анализ задачи сводится в основном к выделению и анализу физического явления. С чего же начинается анализ – синтез² физической ситуации задачи?

Вводная часть метода анализа физической ситуации задачи носит вспомогательный характер, это как бы вхождение, вступление в мир физических явлений задачи. Анализ явлений здесь проводится уже на стадии предварительного знакомства с задачей. После прочтения задачи полезно записать ее условия, пытаясь осмыслить данные и искомые величины, а также связь между ними. Далее необходимо сделать чертеж (схему, рисунок), обозначив на нем все данные и искомые величины. Рисунок позволяет наглядно представить физическое явление задачи.

В основной части этого метода надо уже конкретно провести анализ физических явлений. Как известно, физическое явление содержит качественную и количественную стороны. Поэтому сначала определяют качественную характеристику явления (чем это явление отличается от других, какова его сущность, как оно происходит и т.д.). Конкретно здесь, во-первых, выбирают физическую систему (какие физические объекты включают в систему), во-вторых, определяют качественные характеристики этих объектов (каким идеальным объектом является каждое тело: материальная точка, твердое тело и т.д.), в-третьих, рассматривают, в каких физических процессах участвуют объекты системы.

Затем устанавливают количественные связи и соотношения между различными физическими величинами, характеризующими данное явление. Выше отмечалось, что количественные связи различных физических величин отражаются в физических законах. Поэтому, применяя соответствующие физические законы, получают замкнутую систему уравнений. На этом задача считается физически решенной.

Таким образом, метод анализа физической ситуации задачи отвечает на вопросы: с чего начинать, что и как надо делать при решении любой поставленной физической задачи. Легко видеть, что этот метод применяется лишь на физическом этапе решения задачи.

5. Проведите анализ физической ситуации задачи, предложенной в вопросе 1.1.

3. Обще-частные методы. Метод дифференцирования интегрирования

Система обще-частных методов является универсальной в том смысле, что может быть применима к решению задач почти из любого раздела курса общей физики. Обще-частных методов относительно немного. Из них мы рассмотрим в этом разделе метод дифференцирования и интегрирования (метод ДИ), а такие обще-частные методы как: кинематический, динамический, законов сохранения, расчета физических полей будут рассмотрены в соответствующих главах.

В методе ДИ большое значение имеет положение о границах применимости физических законов. Как известно, содержание физического закона не является абсолютным, а его использование ограниченно рамками условий применимости.

Часто физический закон можно распространить (изменив его форму) и за границы его применения с помощью метода ДИ. В основе этого метода лежат два принципа: принцип возможности представления закона в дифференциальной форме и принцип суперпозиции (если величины, входящие в закон, аддитивны).

Сущность метода ДИ заключается в следующем. Предположим, что физический закон имеет вид

K=LM (1.1)

где K, L, M – некоторые физические величины, причем условием его применимости является L=const. Как распространить данный закон на случай, если Lconst и L является функцией от М, т.е. L=L(M)?

Выделим столь малый промежуток dM изменения величины М, чтобы изменением величины L на этом промежутке можно было пренебречь (рис. 1.1). Таким образом, приближенно на участке можно L считать постоянной (L=const) и, следовательно, условие применимости закона (1.1) на участке dM выполнены (приближенно). Тогда

dK=L(M)dM, (1.2)

где dK – изменение величины K на участке dM.

Используя принцип суперпозиции (суммируя величины по всем участкам изменения величины М), получим значение величины K в виде

(1.3)

где М₁ и М₂ – начальное и конечное значение величины М.

Таким образом, метод ДИ состоит из двух частей. В первой находят дифференциал (1.2) искомой величины. Для этого в большинстве случаев проводят деление тел на столь малые части, чтобы их можно было принять за материальные точки, или деление большого промежутка времени на такие малые промежутки времени dt, чтобы в течение этих промежутков процесс можно было приближенно считать равномерным (или стационарным), и т.д.

Во второй части метода проводят суммирование (интегрирование). Наиболее трудным в этой части являются выбор переменной интегрирования и определение пределов интегрирования. Для определения переменной интегрирования необходимо детально проанализировать, от каких переменных зависит дифференциал искомой величины и какая переменная является главной, наиболее существенной. Эту переменную чаще всего и выбирают в качестве переменной при интегрировании. После этого все остальные переменные выражают как функцию этой переменной. В результате дифференциал искомой величины принимает вид функции от переменной интегрирования. Затем определяют границы интегрирования как крайние (предельные) значения переменной интегрирования. После вычисления определенного интеграла получают числовое значение искомой величины.

2. Тонкий стержень длины l=1 м равномерно заряжен зарядом Q=10^-12 Кл. Определить потенциал электрического поля этого заряда в точке А, расположенной на оси стержня на расстоянии d=1 м от его конца (рис. 1.2). Среда – вакуум.

Решение. Ответ, записанный в виде , является ошибочным, ибо эта формула справедлива только для потенциала электрического поля, созданного точечным электрическим зарядом. В нашем случае заряд Q расположен на теле (стержне), геометрическими размерами которого (l=1 м) нельзя пренебречь по сравнению с характерным расстоянием (d=1 м), рассматриваемым в данной задаче. Следовательно, заряд Q нельзя считать точечным.

Применим метод ДИ. Разделим стержень на столь малые участки, чтобы каждый из них можно было принять за материальную точку. Поэтому заряд, расположенный на таком участке, можно считать точечным. Рассмотрим такой участок длины dx, отстоящий от точки А на расстоянии х. Заряд этого участка точечный и составляет

, (1.4)

где – линейная плотность заряда, т.е. заряд единицы длины стержня и он умножается на длину участка dx.

Заряд dQ создает электрическое поле, потенциал которого в точке А может быть вычислен по формуле для точечного заряда

. (1.5)

Подставив в (1.5) выражение (1.4), получаем дифференциал искомой величины как функцию одной переменной

. (1.6)

Первая часть метода закончена. Переходим к суммированию потенциалов полей, созданных всеми элементарными зарядами (по построению они все точечные), на которые был разбит первоначальный заряд Q. Переменная интегрирования х изменяется в пределах от d=1 м до d+l=2 м. Интегрируя (1.6) по х в указанных пределах, окончательно получаем выражение для искомой величины

.

Подставив числовые значения, получим В.

Метод дифференцирования и интегрирования является универсальным и необходим как при изучении теории, так и в особенности при решении задач по физике. В механике с помощью этого метода проводят вычисление работы переменной силы, моментов инерции, при изучении физических полей его используют для расчета напряженностей и потенциалов полей, созданных неточечными зарядами и массами и т.п.

Математическую основу метода составляют дифференцирование и интегрирование функций. Поэтому рассматриваемый метод позволяет практически осуществить межпредметную связь курсов физики и высшей математики.

6. Используя метод ДИ определите потенциальную энергию однородного столба массой т и высотой h, находящегося на поверхности Земли относительно ее уровня.