2. Движение твердого тела

   1. Динамика твердого тела

Ускорение центра масс твердого тела определяется по теореме о движении центра масс:

, (2.41)

где т – масса, геометрическая сумма внешних сил, действующих на твердое тело.

Внешний вид уравнения (2.41) совпадает со вторым законом Ньютона для материальной точки (2.14), и, следовательно, метод его применения состоит из тех же операций. Векторное уравнение (2.38) эквивалентно трем уравнениям:

. (2.42)

Для материальной точки и соответственно для твердого тела справедливо уравнение движения

, (2.43)

где геометрическая сумма моментов всех внешних сил, действующих на твердое тело, относительно неподвижной точки О.

Если точку О считать началом декартовой системы координат, то, как обычно, векторное уравнение (2.43) эквивалентно трем уравнениям:

, (2.44)

где проекции вектора момента импульса на оси координат. Их называют моментами импульса твердого тела относительно неподвижных осей ОХ, OY, OZ соответственно.

Можно показать, что для материальной точки и для твердого тела

, (2.45)

где моменты инерции материальной точки и твердого тела относительно неподвижных осей ОХ, OY, OZ соответственно,

проекции угловой скорости на те же оси.

С учетом (2.45) уравнения (2.44) можно записать в виде

. (2.46)

Если моменты инерции постоянны, то уравнения движения приобретают вид

, (2.47)

где проекции вектора углового ускорения на оси координат.

Эти уравнения называют уравнениями движения относительно неподвижных осей ОХ, OY, OZ соответственно.

Твердое тело имеет шесть степеней свободы, поэтому для описания его движения необходимо шесть независимых уравнений. Таковыми и являются или два векторных уравнения (2.41) и (2.43), или эквивалентная им система из шести уравнений (2.42) и (2.46). Метод применения законов (2.42) ничем не отличается от метода применения второго закона Ньютона. Метод применения законов (2.46) также очень похож на метод применения второго закона Ньютона, если к последнему добавить две дополнительные операции: нахождение момента инерции тела и момента внешних сил относительно соответствующей оси. Таким образом, динамический метод и для описания движения твердого тела остается практически тем же.

4. Один конец вертикально расположенной нити закреплен в точке О (рис. 2.12), а другой намотан на сплошной узкий цилиндр (диск) массы т=10 кг и радиуса R=10 см. Определить ускорение центра масс и силу натяжения нити. Нить невесома и нерастяжима.

Решение. В физическую систему включим два тела: цилиндр и нить. Цилиндр нельзя принять за материальную точку. Будем считать его твердым телом. Его центр масс (точка С) движется вертикально вниз, а сам цилиндр вращается относительно неподвижной оси, проходящей через центр масс. Применим теорему о движении центра масс (2.41) и уравнение движения (2.47). Инерциальную систему отсчета свяжем с Землей, а оси координат направим как показано на рисунке 2.12. На цилиндр действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити . По теореме о движении центра масс,

.

Проецируя это векторное уравнение на ось ОХ, получаем

.

Цилиндр вращается относительно подвижной оси, но эта ось перемещается параллельно самой себе; в этом случае уравнение движения (2.47) остается справедливым:

,

где угловое ускорение.

Решая полученную систему уравнений, находим

.

Отсюда 6, 6 м/с²; 163 Н.

Усложним решенную задачу: пусть к закрепленному концу нити привязано тело (материальная точка) массой m₁=1 кг, которое может без трения двигаться по горизонтальной плоскости, а сама нить находится на невесомом блоке (рис. 2.13).

Обозначим т₂ массу цилиндра. Применяя динамический метод, составляем замкнутую систему уравнений для поступательного движения материальной точки и цилиндра соответственно:

и ,

а также для вращательного движения цилиндра:

.

Ускорение а_с центра масс цилиндра, ускорение а₁ материальной точки и угловое ускорение связаны соотношением

а_с= а₁+R.

Решая полученную систему уравнений, находим:

Подставляя числовые значения, получаем

9,1 м/с², 7,5 м/с², 7,5 Н, 15,1 рад/с².

Можно еще более усложнить задачу, учитывая трение между телом т₁ и горизонтальной плоскостью, принимая во внимание массу блока, считая его твердым телом и т.д. Все эти задачи могут быть решены тем же динамическим методом.