3. Магнитное поле

   1. Магнитное поле в вакууме

При исследовании магнитного поля в физическую систему необходимо включать источники магнитного поля и их магнитные поля.

Основная задача теории магнитного поля (так же как и теории поля тяготения и электрического поля) заключается в расчете характеристик магнитного поля произвольной системы токов и движущихся электрических зарядов, что эквивалентно определению магнитной индукции в произвольной точке поля. Эту задачу решают, применяя закон Био – Савара – Лапласа в дифференциальной форме

, (3.25)

принцип суперпозиции и метод ДИ. Нередко используют и теорему о циркуляции вектора

. (3.26)

Сначала полезно решить несколько элементарных задач для двух весьма распространенных источников магнитного поля: расчет индукции магнитного поля кругового тока радиуса R в точке А, находящейся на оси на расстоянии х от его плоскости (рис. 3.9) – результаты приводим без вычислений, –

, (3.27)

и расчет индукции поля отрезка проводника с током I в точке А, расположенной на расстоянии от него (рис. 3.10),

. (3.28)

Далее можно поставить и решить буквально десятки задач на расчет магнитных полей, созданных различными комбинациями этих источников: рассчитать поле «квадрата», «треугольника», поле фигур, образованных окружностями, полупрямыми, отрезками и т.д. и т.п. Все эти задачи решаются методом суперпозиции. Наиболее существенным здесь является учет векторного характера принципа суперпозиции.

5. Определить модуль вектора магнитной индукции магнитного поля, созданного системой тонких проводников (рис. 3.11), по которым идет ток I, в точке А {0, R, 0}, являющейся центром кругового проводника радиуса R.

Решение. Магнитное поле создается тремя источниками: полубесконечным прямым проводником ОХ, круговым проводником радиуса R, центр которого расположен в точке А {0, R, 0}, а его плоскость совпадает с плоскостью ZOY, и полубесконечным прямым проводником OZ. По всем проводникам течет один и тот же ток I. Вектор магнитной индукции поля проводника ОХ лежит в плоскости ZOY и направлен против оси OZ; вектор магнитной индукции кругового тока лежит в плоскости XOY и направлен по оси ОХ; вектор магнитной индукции поля проводника ОZ лежит в той же плоскости XOY, но направлен противоположно вектору (рис. 3.11). Из (3.28) находим модули векторов и :

,

а по (3.27) – модуль вектора :

.

По принципу суперпозиции,

.

2. Магнитное поле в веществе

При рассмотрении магнитного поля в магнетиках кроме магнитной индукции вводят еще две физические величины: намагниченность (магнитный момент единицы объема) и напряженность магнитного поля

. (3.29)

Для однородного и изотропного магнетика

. (3.30)

Относительная магнитная проницаемость ферромагнетика является нелинейной функцией от Н. Поэтому при решении задач, в которых рассматривают ферромагнетики, используют графики зависимости В от Н. На рисунке 3.12 приведены эти зависимости для железа, стали и чугуна.

Для нахождения индукции (основная задача в теории магнетиков) часто используют теорему о циркуляции вектора

(3.31)

в сочетании с графиками рисунка 3.12, а также факт непрерывности нормальных составляющих вектора на границе раздела двух различных магнетиков: .

6. З амкнутый тороид с железным сердечником имеет N=100 витков из тонкого провода, намотанного в один слой. Средний диаметр провода d=25 см. Определить напряженность и индукцию магнитного поля внутри тороида, магнитную проницаемость железа, а также намагниченность J при значениях силы тока в обмотке тороида I₁=0,5 A и I₂=5 A.

Решение. Применяя теорему о циркуляции вектора (3.31) вдоль окружности с диаметром d (средняя линия тороида; рис. 3.13)

,

находим напряженность магнитного поля внутри тороида

.

Отсюда после расчета получаем

Н₁=255 А/м, Н₂=2550 А/м.

Далее, используя график на рисунке 3.12, определяем магнитную индукцию:

В₁=0,9 Тл, В₂=1,45 Тл.

Затем по (3.30) находим магнитные проницаемости :

,

а по (3.29) – намагниченности :

.

Анализ полученных данных позволяет установить, что силе тока I пропорциональна только напряженность магнитного поля внутри ферромагнетика (железа), тогда как все остальные величины (индукция В, магнитная проницаемость μ, намагниченность J) являются нелинейными функциями Н, а следовательно, и нелинейными функциями силы тока I.