5. Электромагнитные волны

   1. Интерференция света

Основная задача при изучении интерференции света заключается в расчете интерференционной картины. Рассчитать такую картину – это значит найти распределение интенсивности электромагнитных волн в пространстве. Так как интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электрического поля электромагнитной волны, то основная задача интерференции сводится к нахождению амплитуды результирующего колебания в произвольной точке среды.

При расчете интерференционной картины чаще всего необходимо определить положение произвольного го максимума (или минимума) и расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами). Метод решения большинства задач на интерференцию сводится к двум основным этапам: нахождения оптической разности хода и применения условия максимума

(3.55)

или минимума

. (3.56)

14. Рассчитать интерференционную картину от двух когерентных источников I и II (рис.3.19), расположенных на расстоянии друг от друга и на расстоянии от экрана. Длина волны источников в вакууме . Определить также положение на экране пятого максимума и расстояние между соседними максимумами. Среда – вакуум.

Решение. До встречи в произвольной точке экрана (рис.3.19), в которой оценивается результат интерференции, каждая из волн проходит соответствующий геометрический путь и . Предполагая для простоты начальные фазы равными нулю, а амплитуды – од инаковыми, запишем уравнение волн данных источников:

По принципу суперпозиции результирующее колебание в точке

является гармоническим с той же частотой , но с амплитудой

(3.57)

зависящей от параметра . Возведя (3.57) в квадрат, получаем распределение интенсивности света на экране:

(3.58)

Свяжем разность хода с координатой точки на экране. Из подобия треугольников и (учтя, что , а ) находим

(3.59)

Отсюда (3.60)

Таким образом, распределение интенсивности

(3.61)

Учитывая условия максимума (3.55) и (3.59), определяем положение k-го максимума:

(3.62)

а также расстояние между соседними максимумами:

(3.63)

Два реальных источника света не являются когерентными. Поэтому рассмотренная задача о расчете интерференционной картины двух когерентных источников является идеальной. Однако ее результаты и метод решения часто используют при расчете реальных интерференционных устройств. В большинстве случаев в таких приборах луч разделяется на две когерентные части. После прохождения различных оптических путей эти части исходного луча интерферируют.

15. Точечный источник света с длиной волны расположен на расстоянии от линии пересечения двух плоских зеркал, угол между которыми (бипризма Френеля). Определить число светлых полос интерференционной картины, получающейся на экране, удаленном от линии пересечения зеркал на расстоянии (рис. 3.20).

Решение. Интерференционная картина получается от двух когерентных источников и , расположенных в точках и и являющихся мнимыми изображениями источника света в двух плоских зеркалах. Эта идеальная задача была решена в примере 3.18. Таким образом, для расчета интерференционной картины необходимо определить расстояние между источниками. Расстояние от источников до экрана . В угол . Следовательно, , ибо , так как угол мал. Используя формулу (3.63), находится расстояние между соседними светлыми полосами

Число светлых полос можно определить, если будет найдена ширина интерференционной картины. Последняя же определятся областью, где происходит перекрытие волн, излучаемых источниками и . Из рисунка 3.20 видно, что ширина интерференционной картины изображается отрезком . Разделив ширину интерференционной картины на ширину светлой полосы получим число светлых полос:

16. В установке для получения колец Ньютона пространство между линзой (показатель преломления ) и плоской прозрачной пластиной (показатель преломления ) заполнено жидкостью с показателем преломления (рис. 3.21). Установка облучается монохроматическим светом , падающим нормально на плоскую поверхность линзы. Найти радиус кривизны линзы , если радиус четвертого светлого кольца в проходящем свете

Решение. Интерференция лучей осуществляется в тонком жидком клине (показатель преломления жидкости больше как , так и ). Именно в этой тонкой жидкой пленке неодинаковой толщины каждый луч разделяется на две когерентные части. В проходящем свете -й максимум образуется вследствие интерференции луча , прошедшего через точку в пластину, и части этого же луча , отразившейся в точках и и прошедшей в пластину через точку (рис. 3.21). Так как и , то при отражении в точках и потери полуволны не происходит. Следовательно, приобретаемая лучами и оптическая разность хода

,

где толщина жидкого клина в точке .

Учитывая, что

а также условие максимума (3.55), находим

Отсюда радиус кривизны линзы

Как рассчитать интерференционную картину не от двух, а от многих когерентных источников света? часто в этом случае используется метод векторных диаграмм. Рассмотрим для простоты случай равных амплитуд. Кроме того, предположим, что разность фаз двух соседних источников отличается на одно и то же значение .

На рисунке 3.22 изображена векторная диаграмма, соответствующая сложению N=6 колебаний с одинаковыми амплитудами.

.

Амплитуду результирующего колебания изображают отрезком AG=E₀. Определим эту результирующую амплитуду. Очевидно, что точки A, B, C, D, E, F и G располагаются на окружности радиуса . Опустим из центра окружности О на отрезки АВ и ВС перпендикуляры OK и OL. Тогда , а . Из ΔKOB определяем радиус окружности:

(3.64)

Так как (по построению ), то результирующая амплитуда

(3.65)

Угол AOH равен ½(2π – NΔφ)=π –½NΔφ, из ΔАOН находим

Подставляя это значение в уравнение (3.65) и используя (3.64), получаем

Энергия колебаний (а также и интенсивность I) пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, интенсивность результирующего колебания

(3.66)

где интенсивность одного источника.

При малой разности фаз уравнение (3.66) принимает вид

.

Таким образом, интенсивность главного максимума при интерференции N источников пропорциональна квадрату числа источников.