2. Электромагнитные колебания

При исследовании электромагнитных колебаний в физическую систему обычно включают электромагнитное поле и тела (имеющие второстепенное значение), в которых оно локализовано (проводники, катушки индуктивности, конденсаторы и т.п.).

Основная задача в теории электромагнитных колебаний заключается в нахождении закона изменения во времени какой-либо электрической или магнитной физической величины. Далее, используя уравнения, связывающие эту величину с другими, определяют значение и этих величин.

10. Определить индукцию магнитного поля внутри катушки идеального контура Томсона в момент времени , если при заряд на конденсаторе а сила тока Индуктивность катушки число витков на 1 м длины катушки емкость конденсатора Среда – вакуум.

Решение. Физическая система состоит из проводников, образующих катушку индуктивности, конденсатора и изменяющегося во времени электромагнитного поля. Необходимо определить один из параметров (индукцию) этого поля в определенный момент времени. Это основная задача в теории электромагнитных колебаний.

Найдем закон изменения какой-либо физической величины. В контуре происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания. Как известно, дифференциальное уравнение таких колебаний имеет вид

(3.41)

решением которого является уравнение гармонических колебаний

(3.42)

Заметим, что уравнения, аналогичные (3.41) и (3.42), можно было бы записать и для других величин (силы тока, напряжения и т.д.). В уравнении (3.42) неизвестны три параметра: угловая частота , амплитуда и начальная фаза . Угловую частоту находим из уравнения

, (3.43)

а амплитуду и начальную фазу – из начальных условий ( при а ):

Отсюда . Таким образом, уравнение гармонических электромагнитных колебаний в контуре имеет вид

(3.44)

Итак, мы нашли закон изменения со временем какой-либо электрической или магнитной физической величины (в данном случае электрического заряда ).

Далее можно рассчитать силу тока в контуре в любой момент времени:

а также индукцию магнитного поля:

Используя затем уравнения, связывающие полученные величины с другими, можно определить любую физическую величину, характеризующую исследуемое явление. Например, разность потенциалов на обкладках конденсатора

напряженность электрического поля в конденсаторе (считая его плоским с площадью пластин )

плотность энергии электрического поля внутри конденсатора

плотность энергии магнитного поля внутри катушки

и т.д., и т.п. Легко видеть, что если отвлечься от конкретных числовых значений в условиях этого примера, то нами практически получено решение общей задачи на свободные незатухающие электромагнитные колебания в контуре Томсона.

11. Омическое сопротивление контура Томсона индуктивность емкость Определить силу тока в контуре в момент времени если при заряд на конденсаторе а начальная сила тока равна нулю.

Решение. В контуре совершаются электромагнитные колебания. Для решения основной задачи теории электромагнитных колебаний необходимо определить все параметры уравнения затухающих колебаний:

(3.45)

Коэффициент затухания и угловую частоту находят из условия задачи:

Отсюда

Начальную фазу и определяют из начальных условий. Учитывая, что при заряд на конденсаторе , получаем первое уравнение для определения и :

(3.46)

Из условия, что в начальный момент времени сила тока

(3.47)

равна нулю, находим второе уравнение:

. (3.48)

Решая систему уравнений (3.46) и (3.48), определяем и :

Итак, закон изменения заряда со временем (уравнение (3.45)) определен полностью:

Далее можно определить любую физическую величину, характеризующую это конкретное физическое явление (затухающие электромагнитные колебания). Искомая сила тока находится из уравнения (3.47):

Так же как и в задачах на свободные электромагнитные колебания, при решении задач на установившиеся вынужденные электромагнитные колебания сначала определяют изменения какой-либо электрической или магнитной величины, а затем, используя соотношения между различными физическими величинами, находят законы изменения других искомых величин.

Часто при решении задач на вынужденные электромагнитные колебания используют метод векторных диаграмм. В этом методе гармоническое колебание представляют в виде вектора : его длина равна амплитуде , а угол, который этот вектор составляет с некоторой горизонтальной осью (осью токов или осью напряжений ), в начальный момент равен начальной фазе (рис. 3.15). Вектор вращается с угловой скоростью против часовой стрелки. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение метода векторных диаграмм.

12. Электрическая цепь состоит из э.д.с., изменяющейся по гармоническому закону, и омического сопротивления , емкости , индуктивности , соединенных последовательно (рис. 3.16). Определить закон изменения напряжения на участке как функции времени

Решение. Используем метод векторных диаграмм (рис. 3.17).

П усть закон изменения силы тока задан в виде

(3.49)

где угловая частота изменения внешней э.д.с.

Направим ось токов горизонтально. Тогда колебания напряжения на сопротивлении изображают вектором , направленным по оси токов, колебания напряжения на индуктивности – вектором , направленным перпендикулярно оси токов, и колебания напряжения на емкости – вектором , также направленным перпендикулярно оси токов, но в другую сторону. Модули этих вектором составляют соответственно

Результирующее напряжение изображают вектором . Сумму напряжений на индуктивности и емкости

называют реактивной составляющей напряжения. Таким образом, результирующее напряжение изменяется по закону

(3.50)

где амплитуда (3.51)

и начальная фаза (3.52)

определяется из векторного треугольника (рис. 3.17).

Проведем анализ соотношения (3.51). Существенно отметить, что в это уравнение входят только амплитуды напряжения и тока , но не их мгновенные значения и Из (3.51) видно, что амплитуда тока зависит от частоты внешней э.д.с. При возрастании от нуля до значения

(3.53)

амплитуда тока возрастает, ибо убывает полное сопротивление

(3.54)

При значении частоты амплитуда тока достигает максимального значения. При этом реактивная составляющая напряжения обращается в нуль и контур ведет себя как чисто активное сопротивление. Это явление называют резонансом напряжений. Из (3.52) видно, что при резонансе напряжений разность фаз между колебаниями тока и напряжения обращается в нуль. При дальнейшем увеличении амплитуда тока убывает, асимптотически приближаясь к нулю.

13. Сопротивление и катушка с индуктивностью соединены последовательно. Какую емкость необходимо включить последовательно в цепь, чтобы уменьшить сдвиг фаз между э.д.с. и силой тока на ? Частота изменения гармонической э.д.с.

Решение. Используя метод векторных диаграмм (рис. 3.18), получаем

Отсюда Следовательно, т.е. По формуле (3.52) находим

Отсюда определяем неизвестную емкость (учитывая, что ):