3. Постоянный электрический ток

Основной задачей теории постоянного тока является задача о расчете электрической цепи. В общем виде эта задача ставится следующим образом: дана произвольная электрическая цепь, даны какие-то ее параметры (э.д.с., сопротивления и т.д.); требуется найти какие-то другие (неизвестные) величины (силы токов, работу, мощность, количество теплоты и т.д.). Заметим, что самой важной, фундаментальной величиной в явлении постоянного тока необходимо считать силу тока I. Зная (найдя) эту величину, можно определить практически любую другую величину, характеризующую это явление. Поэтому основная задача в теории постоянного тока заключается в нахождении силы токов. Такая постановка задачи является слишком общей, и поэтому разделим ее на более конкретные и узкие виды.

1. В электрической цепи имеется только один источник тока.

2. В электрической цепи имеется несколько одинаковых источников тока.

3. В электрической цепи имеется несколько различных источников тока.

Задачи первого вида решаются последовательным применением закона Ома для замкнутой цепи, закона Ома для однородного участка и иногда первого закона Кирхгофа. Если задача поставлена конкретно, система уравнений, полученная на основе этих законов, является замкнутой и, следовательно, задача – физически решенной.

Задачи второго вида легко сводятся к задачам первого вида, если по правилам соединения одинаковых источников тока в батареи найти результирующую э.д.с. цепи ε₀ и по правилам соединения сопротивлений определить результирующее сопротивление батареи r₀.

Задачи третьего вида являются наиболее общими и не приводятся к задачам первого и второго вида. Они решаются принципиально с помощью иных законов, чем закон Ома для однородного участка и для замкнутой цепи. Последний не может быть применен, так как в большинстве таких задач невозможно определить результирующую э.д.с. ε₀.

Существует несколько методов решения задач третьего вида. Приведем наиболее распространенный – метод, основанный на применении законов Кирхгофа. Рассмотрим сущность этого метода на конкретном примере.

4. Определить силу тока, протекающего через элемент ε₂ , если ε₁=1 В, ε₂=2 В, ε₃=3 В, r₁=1 Ом, r₂=0,5 Ом, r₃=1/3 Ом, r₄=1 Ом, r₅=1/3 Ом (рис. 3.8).

Решение. Физическая система – электрическая цепь, в которой имеется несколько различных источников тока. Найти результирующую э.д.с. невозможно, и, следовательно, нельзя применить закон Ома для замкнутой цепи. В этом случае цепь может быть рассчитана с помощью законов Кирхгофа.

Сначала необходимо выбрать (произвольно) направление токов в ветвях. Выберем их так, как показано на рисунке 3.8. Если мы ошиблись в выборе направлении какого-нибудь тока, то в окончательном решении этот ток получится отрицательным; если же случайно выбрано правильное направление тока, то он получится положительным.

Применим первый закон Кирхгофа. Он справедлив для узлов электрической цепи. В данной схеме узлов два: точки А и С. Для узла А по первому закону Кирхгофа получим

. (3.22)

Для узла С первый закон Кирхгофа ничего нового не дает.

Применим второй закон Кирхгофа. Он справедлив только для замкнутых контуров. В данной схеме их три: ABCA, ACDA, ABCDA. Рассмотрим контур ABCA. В этом контуре имеется две э.д.с. (ε₁ и ε₂), три резистора ( и ) и два тока (I₁ и I₂). Для применения второго закона Кирхгофа необходимо выбрать (произвольно) условно-положительное направление обхода контура. Если направления э.д.с. или тока совпадают с направлением обхода контура, то их считают положительными. В противном случае э.д.с. или ток считают отрицательными.

Выберем за положительное направление обхода контура ABCA направление против часовой стрелки. Э.д.с. ε₁ направлена против часовой стрелки; следовательно, ее считаем положительной; э.д.с. ε₂ направлена по часовой стрелке (т.е. против направления обхода контура); следовательно, она войдет в уравнение второго закона Кирхгофа со знаком минус. Ток I₁ проходит через резисторы и , и его направление совпадает с направлением обхода контура. Ток I₂ проходит через резистор r₂ и направлен против направления обхода. Следовательно, ток I₁ положителен, ток I₂ отрицателен. По второму закону Кирхгофа для контура ABCA получаем

ε₁–ε₂=I₁(r₁+R₄)–I₂r₂. (3.23)

Если выбрать за положительное направление обхода этого контура направление по часовой стрелке, то по второму закону Кирхгофа найдем

–ε₁+ε₂ = –I₁(r₁+R₄)+I₂r₂.

Получено уравнение (3.23), умноженное на – 1. Очевидно, что эти уравнения эквивалентны. Таким образом, сущность второго закона Кирхгофа не зависит от произвольного выбора направления обхода контура.

Рассмотрим контур ACDA. Выберем за положительное направление обхода этого контура направление против часовой стрелки. Применяя второй закон Кирхгофа, получим

ε₂–ε₃ = I₂r₂ –I₃(r₃+R₅). (3.24)

Система уравнений (3.22) – (3.24) является замкнутой. Задача физически решена. Решая полученную систему уравнений, находим:

I₁= – 5/8 А, I₂= – 1/2 А, I₃= 8/9 А.

Токи I₁ и I₂ получились отрицательными. Это означает, что их направления были выбраны ошибочно. Ток I₃ положителен; следовательно, его направление случайно было выбрано правильно.