3. Механические колебания

Чаще всего рассматривают свободные незатухающие, свободные затухающие и вынужденные колебания. Характерной особенностью колебательных движений является, то что они происходят под действием переменных сил. Поэтому после применения второго закона Ньютона получают дифференциальное уравнение (обычно не в векторной форме, ибо в большинстве случаев рассматриваются одномерные задачи).

5. Предположим, что Земля просверлена по диаметру. В образовавшуюся шахту без начальной скорости у поверхности Земли опустили небольшое тело массой т. Определить его скорость в центре Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. В физическую систему включим данное тело, которое можно принять за материальную точку. Земля – внешнее тело. Материальная точка под действием силы тяготения Земли ускоренно движется к ее центру. Миновав центр Земли, тело продолжает движение, но уже замедленно. Так как сил сопротивления нет, то тело, достигнув другого конца шахты, снова начнет двигаться ускорено к центру Земли и т.д. Таким образом, физическое явление заключается в колебательном движении материальной точки. Применим второй закон Ньютона. Инерциальную систему отсчета свяжем с Землей, начало координат поместим в центр Земли О, а ось ОХ направим, как показано на рисунке 2.4. Рассмотрим произвольное положение материальной точки, находящейся на расстоянии х от центра Земли в момент времени t. На нее действует сила тяготения со стороны шара радиуса х

, (2.18)

где М_х – масса этого шара. Пусть средняя плотность Земли

,

где кг – масса Земли,

км – радиус Земли.

Тогда и выражение для силы тяготения (2.18) приобретает вид

.

Можно доказать, что сила тяготения, действующая со стороны оставшегося шарового слоя толщиной (R–x), ровна нулю.

По второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение колебаний материальной точки

или ,

что совпадает с дифференциальным уравнением свободных незатухающих колебаний, если положить .

Таким образом, материальная точка, опущенная в шахту, совершает гармонические колебания по закону

. (2.19)

Амплитуду и начальную фазу определим из начальных условий ( при ):

.

Отсюда и . Закон движения (2.19) приобретает вид

.

Зная закон движения, можно теперь определить любую физическую величину, характеризующую данное физическое явление. Найдем скорость материальной точки в центре Земли:

.

Так как в центре Земли (начало координат) и , то . Следовательно, искомая скорость

7,8 км/с.

Полученная скорость равна первой космической скорости для Земли. Период колебаний

90 мин.

Он равен периоду обращения искусственного спутника Земли на круговой орбите радиуса, равного радиусу Земли.

6. В воде плавает льдина в виде параллелепипеда с площадью основания S=1 м² и высотой Н=0,5 м. Льдину погружают в воду на небольшую глубину х₀=5 см и отпускают. Определить период ее колебаний. Силой сопротивления воды пренебречь.

Решение. В физическую систему включим одно тело – льдину. Внешние тела – Земля и вода.

Физическое явление заключалось в том, что сначала льдина находилась в покое, а затем стала совершать колебательные движения. Льдину в условиях данной задачи нельзя принять за материальную точку, но легко видеть, что каждая ее точка движется одинаковым образом. Следовательно, для решения задачи достаточно описать движение какой-либо одной ее точки, например центра масс. Применим второй закон Ньютона. Инерциальную систему свяжем с водой (предполагается, что она неподвижна и изменением уровня ее поверхности при погружении льдины можно пренебречь). Начало координат О поместим на поверхности воды, а ось ОХ направим так, как показано на рисунке 2.5.

Рассмотрим состояние льдины до погружения. Она находится в равновесии. На нее действуют две силы: сила тяжести (900 кг/м³ – плотность льда) и выталкивающая сила Архимеда (где 10³ кг/м³ – плотность воды, h – глубина погружения льдины в состоянии равновесия). По второму закону Ньютона получаем

, (2.20)

откуда .

Исследуем состояние льдины после погружения. При погружении на дополнительную глубину х (где х – произвольная величина; рисунок 2.6) появляется дополнительная сила Архимеда . Учитывая уравнение (2.20), по второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний

, или , (2.21)

где

. (2.22)

Из уравнения (2.22) определяем искомый период колебаний:

. (2.23)

Отсюда находим, что 1,3 с.

Из уравнения (2.23) видно, что период колебаний не зависит от площади поперечного сечения S льдины и, следовательно, в условиях данной задачи это лишняя величина. Плотности же воды и льда необходимо взять из таблиц.

Из уравнения (2.21) и начальных условий (х=х₀, х=0 при t=0) можно найти закон движения:

.

Таким образом, льдина совершает гармонические колебания. В реальных условиях колебания льдины будут затухающими.

Мы рассмотрели несколько примеров на механические колебания. Все эти задачи были решены одним и тем же динамическим методом. Таким образом, задачи на механические колебания являются частным случаем основных задач динамики.