2 Механика 44

2.1 движение материальной точки 44

2.1.1 Кинематика материальной точки 44

i. Определить модуль скорости материальной точки в момент времени t=2 c, если точка движется по закону , где 2 м/с2, 3 м. 45

ii. Ускорение материальной точки изменяется по закону , где 3 м/с4, 3 м/с2. Найти, на каком расстоянии от начала координат она будет в момент времени t=1 с, если и при t=0. 46

2.1.2 Динамика материальной точки 47

iii. Два тела массами т1=1 кг и т2=2 кг связаны невесомой нитью и движутся по горизонтальной плоскости (на Земле) под действием силы F=10 Н, направленной горизонтально и приложенной к телу т1 (рис. 2.2). определить силы, действующие на каждое тело, если коэффициент трения между каждым телом т1 и т2 и горизонтальной поверхностью равен f=0,5. 48

iv. Двигатель тормозной системы развивает силу тяги, пропорциональную времени: , где . Пренебрегая трением, определить, через сколько времени от момента включения тормозного двигателя тело массы т, на котором установлен такой двигатель, остановится. В момент включения двигателя скорость тела составляла . Считать, что масса двигателя много меньше массы тела. 50

2.1.3 Механические колебания 51

v. Предположим, что Земля просверлена по диаметру. В образовавшуюся шахту без начальной скорости у поверхности Земли опустили небольшое тело массой т. Определить его скорость в центре Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь. 51

vi. В воде плавает льдина в виде параллелепипеда с площадью основания S=1 м2 и высотой Н=0,5 м. Льдину погружают в воду на небольшую глубину х0=5 см и отпускают. Определить период ее колебаний. Силой сопротивления воды пренебречь. 53

2.1.4 Законы сохранения 55

i. Абсолютно неупругий удар. Два тела массами т1=2 кг и т2=3 кг, движутся со скоростями и относительно некоторой ИСО, сталкиваются абсолютно неупруго. Определить их скорость после соударения. Действием других тел пренебречь. 56

ii. Тележка с песком массой М=100 кг движется прямолинейно и равномерно по горизонтальной плоскости со скоростью v0=3 м/с (рис. 2.7). Шар массой т=20 кг падает без начальной скорости с высоты h=10 м и попадает в тележку с песком. Определить скорость тел после их взаимодействия. Трение отсутствует. 57

Пример 2.2 Небольшое тело А начинает скользить с высоты h по наклонному желобу, переходящему в полуокружность радиуса h/2 (рис. 2.9). Пренебрегая трением, найти расстояние h до наивысшей точки его траектории (момент отрыва от желоба) и скорость v тела в этой точке. 60

i. Сначала тело поднимают из шахты глубиной (где радиус Земли) на поверхность Земли, а затем на высоту от поверхности Земли. В каком случае работа больше? 61

ii. Определить работу тормозного двигателя за первую секунду в примере 2.4. 62

iii. Определить, какую скорость имеет метеорит массой т на расстоянии r=1,5·1011 м от Солнца, если он двигался без начальной скорости из бесконечности к Солнцу (массой М). Влиянием других тел пренебречь. 63

2.2 Движение твердого тела 65

2.2.1 Динамика твердого тела 65

iv. Один конец вертикально расположенной нити закреплен в точке О (рис. 2.12), а другой намотан на сплошной узкий цилиндр (диск) массы т=10 кг и радиуса R=10 см. Определить ускорение центра масс и силу натяжения нити. Нить невесома и нерастяжима. 66

2.2.2 Законы сохранения в динамике твердого тела 68

v. Деревянный стержень массой М=6 кг и длиной l=2 м может вращаться в вертикальной плоскости относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис. 2.14). В конец стержня попадает пуля массой т0=10 г, летевшая со скоростью v0=103 м/с, направленной перпендикулярно стержню и оси, и застревает в нем. Определить кинетическую энергию стержня после удара. 69

2.3 Задачи для самостоятельного решения 71