2. Дифракция света

Основная задача при изучении дифракции заключается в расчете дифракционной картины, т.е. в нахождении распределения интенсивности света I. Более узкой задачей является нахождение положения максимумов и минимумов дифракционного спектра. Часто при расчете дифракционных картин используется метод зон Френеля и метод ДИ.

17. На прямоугольную бесконечную щель шириной падает (перпендикулярно плоскости щели) плоская монохроматическая волна с длиной волны (рис. 3.23). Найти распределение интенсивности света в дифракционной картине на экране Э. Решить ту же задачу для системы параллельных щелей, разделенных непрозрачными промежутками шириной (дифракционная решетка).

Решение. Элементарное применение метода зон Френеля позволяет найти условие минимума дифракционной картины на одной щели

(3.67)

и условие максимума

(3.68)

Однако мы не получили распределения интенсивности света в дифракционной картине. Применим метод ДИ. Зона шириной (рис. 3.23), находящаяся на расстоянии от края щели , посылает в направлении, определяемом углом , волну, уравнение которой имеет вид

(3.69)

где (3.70)

В уравнении (3.69) учтено, что для волны, распространяющейся в направлении , расстояния отчитываются на этой прямой. Следовательно, и фаза волны, излучаемой зоной , равна .

Проинтегрировав уравнение (3.70) по всей щели для точки , получим значение произвольной постоянной:

Подставляя значение из (3.70) в уравнение (3.69), находим

(3.71)

Интегрируя уравнение (3.71) по всей щели, получаем

Следовательно, амплитуда колебаний в точке

(3.72)

Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, то из уравнения (3.72) получаем закон для распределения интенсивности света на экране в случае дифракции на одной щели:

(3.73)

Легко видеть, что из уравнений (3.72) и (3.73) получается условие минимума (3.67).

Дифракционная решетка состоит из N параллельных щелей шириной а, разделенных непрозрачными промежутками шириной b (рис. 3.24). Величину (a+b) называют периодом дифракционной решетки.

Для количественного расчета дифракционной картины, получаемой с помощью дифракционной решетки, воспользуемся методом зон Френеля. Разделим фронт плоской монохроматической волны, падающей на дифракционную решетку (рис. 3.24), в каждой щели на зоны Френеля параллельными плоскостями так, чтобы расстояние между соседними плоскостями было равно λ/2. Если в каждой щели укладывается четное число зон, то в данном направлении (в точке А) образуется минимум. Если в каждой щели укладывается нечетное число зон, то в каждой щели остается одна непогашенная зона. Пусть эти зоны располагаются у левых краев щелей (точки B, C, D). Разность хода между соседними источниками (непогашенными зонами) постоянна:

(3.74)

Данной разности хода соответствует постоянная разность фаз

(3.75)

Следовательно, задача о расчете дифракционной картины дифракционной решетки свелась к задаче о расчете интерференционной картины от многих когерентных источников с постоянной разностью фаз (3.75). Последняя задача была решена методом векторных диаграмм в подразделе 3.5.1. Учитывая формулы (3.66) и (3.75), получаем закон распределения интенсивности света в дифракционном спектре дифракционной решетки:

(3.76)

где интенсивность, создаваемая одной щелью (см. формулу (3.73)).

Из уравнения (3.76) можно получить условие главных максимумов

(3.77)

18. На щель шириной а=10^–2 мм падает нормально к плоскости щели плоская монохроматическая волна с длиной волны . Определить угловое положение первого максимума дифракционной картины. Среда – вакуум.

Решение. Угловое положение первого максимума можно определить из условия максимума (3.77). Отсюда

(3.78)

Более точно угловое положение максимумов находят с помощью формулы (3.73). Найдем экстремум функции , взяв первую производную этой функции по и прировняв ее к нулю:

Отсюда получим трансцендентное уравнение для определения экстремальных значений

которое после введения обозначений

(3.79)

принимает вид

(3.80)

Корнями трансцендентного уравнения (3.80) являются следующие числа:

(3.81)

Учитывая (3.80), из уравнения (3.79) определяем угловое положение первого дифракционного максимума:

(3.82)

Из формул (3.82) и (3.78) видно, что более точное решение (3.82) значительно отличается от приближенного (3.78). Нетрудно оценить ошибку приближенного решения

, т.е.

Необходимо заметить, что формула (3.73) не только дает возможность найти положение максимумов дифракционной картины от одной щели, но и определить интенсивность этих максимумов.

19. Определить максимальный порядок дифракционного спектра, полученного от дифракционной решетки с периодом (a+b)=0,005 мм при нормальном падении не нее плоской монохроматической волны с длинной волны λ₀=6·10^–7 м (в вакууме).

Решение. Максимальный порядок дифракционного спектра определяется из условия максимума (3.77). Значение не может по модулю превышать единицы; следовательно, . Отсюда , .

Однако такое решение является неточным. Оно получено в предположении, что в формуле (3.76) интенсивность освещенности , создаваемая одной щелью, постоянна и не зависит от угла . Из уравнения (3.73) видно, что зависит от угла и может (при определенных углах ) принимать значение, равное нулю. Найденное решение определяет лишь максимально возможный порядок спектра. Но не все главные максимумы (3.77) реализуются: те из них, положение которых совпадают с минимумом дифракционной картины от одной щели (3.67), исчезают; осуществляются только те главные максимумы, которые попадают в центральный максимум дифракционной картины от одной щели. следовательно, максимальный порядок осуществляемых главных максимумов определяется из соотношения (3.67) и (3.77).

Из уравнения (3.67) при k=1 определяем угловую полуширину центрального максимума дифракционной картины от одной щели:

(3.83)

Из уравнения (3.77) находим максимальный порядок реализуемых главных максимумов:

Учитывая соотношение (3.83), получаем .

Для окончательного решения задачи необходимо задать ширину щели а. Для а₁=10^–3 мм и а₂=2,5∙10^–3 мм с помощью последующего соотношения получаем

Заметим, что в последнем решении мы пренебрегаем реализуемыми главными максимумами, попадающими в области максимумов, следующих за центральным максимумом дифракционной картины от одной щели. Можно показать, что интенсивность этих последующих максимумов мала.

20. Интенсивность центрального максимума при дифракции на одной щели равна I₀. Определить отношение интенсивностей последующих трех максимумов к интенсивности центрального максимума I₀.

Решение. Из условия максимума (3.79) для дифракции на одной щели

,

где т=1,43; 2,46; 3,47;… (см. (3.81)), и формулу (3.73) находим искомые соотношения:

После подстановки числовых значений получаем: