1. Сначала тело поднимают из шахты глубиной (где радиус Земли) на поверхность Земли, а затем на высоту от поверхности Земли. В каком случае работа больше?

Решение. Легко видеть, что эта задача на оценку. Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо найти отношение , где работа в первом случае, работа во втором. И в первом и во втором случае работа совершается против силы тяготения, но законы, описывающие действие этих, различны. В примере 2.5 было показано, что сила тяготения в первом случае

,

а во втором

.

Графики изменения этих сил показаны на рисунке 2.10. Таким образом, силы переменные и для расчета работ и необходимо применить метод ДИ. Элементарные работы на участках составляют

.

После интегрирования в соответствующих пределах получаем

,

и, следовательно, , т.е. .

Сила может зависеть от компоненты скорости . При расчете работы в этом случае необходимо найти закон изменения скорости от времени , т.е. решить основную задачу динамики, применяя второй закон Ньютона. Элементарная работа

. (2.34)

По второму закону Ньютона

, (2.35)

где – алгебраическая сумма проекций на направление движения остальных сил, действующих на данное тело.

После решения уравнения (2.35) и учета начальных условий находим закон изменения скорости: . Далее подставляем найденный закон изменения скорости в (2.31) и после интегрирования получаем искомую работу

. (2.36)

2. Определить работу тормозного двигателя за первую секунду в примере 2.4.

Решение. Так как сила торможения зависит от времени (F=kt), закон изменения скорости (2.15) найден, время торможения известно, то по формуле (2.36) получаем искомую работу:

Дж. (2.37)

Иногда работу можно вычислить, используя теорему об изменении кинетической энергии физической системы, состоящей из материальных точек. Согласно этой теореме, работа всех сил, действующих на такую систему, равна изменению кинетической энергии этой системы:

. (2.38)

В примере 2.4 из трех сил, действующих на тело, две взаимно уравновешивают друг друга. Оставшаяся сила и есть сила торможения, работу которой необходимо вычислить. Следовательно, в формуле (2.38) А – это работа силы торможения, а . Применяя формулу (2.38) и учитывая закон изменения скорости (2.15), получаем

Дж,

т.е. тот же результат, что и полученный ранее [см. (2.37)] методом ДИ.

По закону сохранения энергии в механике,

полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, есть величина постоянная:

. (2.39)

Если в замкнутой системе действуют неконсервативные силы, то полная механическая энергия системы не сохраняется и ее изменение равно работе неконсервативных (диссипативных) сил:

, (2.40)

где – работа диссипативных сил.

3. Определить, какую скорость имеет метеорит массой т на расстоянии r=1,5·10¹¹ м от Солнца, если он двигался без начальной скорости из бесконечности к Солнцу (массой М). Влиянием других тел пренебречь.

Решение. В физическую систему включим два тела: метеорит и Солнце. Метеорит можно принять за материальную точку. Солнце будем считать шаром радиуса R=7 10⁵ км. Физическое явление заключается в движении метеорита к Солнцу под действием силы тяготения. Известно начальное положение физической системы, необходимо определить один из параметров движения метеорита (скорость v) в конечном состоянии. Это основная задача динамики.

Ее можно было бы решить динамическим методом, применяя второй закон Ньютона. Но в данной задаче нет необходимости определять закон изменения скорости v метеорита от времени t (нужно определить, только значение скорости в конечном состоянии); иначе говоря, нет необходимости описывать весь процесс движения метеорита. Поэтому целесообразно применить закон сохранения энергии в механике.

Выбранная система замкнута (влиянием других тел пренебрегаем по условию). В системе действуют толь консервативные силы тяготения. Инерциальную систему свяжем с Солнцем, принимая его за неподвижное тело (см. пример 2.8). Полная механическая энергия Е₁ системы в начале взаимодействия тел равна нулю (кинетические энергии тел равны нулю; принимая начальное положение системы за нулевое положение, получаем, что и начальная потенциальная энергия равна нулю). Определим полную механическую энергию системы Е₂ в конце взаимодействия, когда метеорит находится на расстоянии м от Солнца (рис. 2.11). Она слагается из кинетической энергии метеорита и его потенциальной энергии. Последняя определяется работой сил тяготения при перемещении метеорита из конечного в начальное положение.

Так как сила тяготения зависит от расстояния r, т.е. является переменной силой, то для расчета работы этой силы применим метод ДИ. Разделим весь путь на столь малые участки, чтобы на каждом таком участке dr изменением силы тяготения можно пренебречь, считая ее постоянной. Тогда элементарная работа на таком участке

.

Суммируя элементарные работы на всех участках, получаем общую работу А, которая и определяет значение взаимной потенциальной энергии Е_п системы:

.

Таким образом, полная механическая энергия системы в начальном положении Е₁=0, в конечном . По закону сохранения энергии в механике, .

Из последнего уравнения определяем искомую скорость:

км/с.

Для расчета из таблиц (см. справочные материалы) были взяты значения гравитационной постоянной G и массы Солнца М.