2. Динамика материальной точки

При изучении движения тел в динамике для учета существующих между ними взаимодействий необходимо ввести понятие силы F. Возникает очень важный вопрос: как находить силы, действующие на любое тело?

Сначала следует выяснить, с какими другими телами взаимодействует данное тело. Далее определить, как данное тело взаимодействует с этими телами, каков вид (тип) этого взаимодействия.

Выше отмечалось, что для классических физических систем существенны следующие виды взаимодействий: гравитационное (закон всемирного тяготения Ньютона ) и электромагнитное (его частные случаи: сила Кулона , сила Лоренца , сила трения , упругая сила ). Таким образом, на данное тело только в результате взаимодействия его с каким-либо другим телом могут действовать несколько различных сил. Очень важно осознавать, чем эти силы отличаются качественно. Следующим этапом является количественная оценка каждой силы: нужно определить, какой порядок ее величины. Может оказаться, что некоторые силы настолько малы, что ими можно пренебречь (в условиях данной задачи).

3. Два тела массами т₁=1 кг и т₂=2 кг связаны невесомой нитью и движутся по горизонтальной плоскости (на Земле) под действием силы F=10 Н, направленной горизонтально и приложенной к телу т₁ (рис. 2.2). определить силы, действующие на каждое тело, если коэффициент трения между каждым телом т₁ и т₂ и горизонтальной поверхностью равен f=0,5.

Решение. Рассмотрим тело т₁. На него действует сила . Определим другие силы. Тело т₁ взаимодействует с Землей, нитью, горизонтальной поверхностью и телом т₂. С Землей тело т₁ взаимодействует по закону всемирного тяготения и, следовательно, на него действует сила тяжести , направленная вниз. Далее, тело взаимодействует с горизонтальной поверхностью, в результате чего возникает упругая сила реакции опоры , направленная вверх, а также сила трения , направленная противоположно вектору скорости. Тело т₁ взаимодействует с нитью только упруго: на тело т₁ действует упругая сила натяжения , направленная влево (т.к. нить невесома, то сила тяготения между нитью и телом т₁ равна нулю). Тело т₁ может взаимодействовать с телом т₂ только по закону всемирного тяготения, но эта сила очевидно настолько мала по сравнению с остальными, что в условиях данной задачи ею можно пренебречь. Итак на тело т₁ действуют пять сил: .

Рассуждая таким образом, можно показать, что на тело т₂ действуют четыре силы; упругая сила натяжения нити , сила тяжести , упругая сила реакции опоры и сила трения . На невесомую и нерастяжимую нить действуют только две упругие силы натяжения: и . Легко видеть, что на основании второго закона Ньютона

(2.11)

эти силы численно равны (т.к. масса нити то, по второму закону Ньютона, для , т.е. ).

Второй закон Ньютона является фундаментальным законом динамики материальной точки. Он справедлив только в инерциальной системе отсчета для одного тела (материальной точки).

В частном случае при движении тел со скоростями, значительно меньшими скорости света в вакууме с (v<<c), второй закон Ньютона можно записать в виде

, (2.12)

или

. (2.13)

содержание (физический смысл) фундаментальных законов (2.11) – (2.13) заключается в том, что изменение импульса или скорости материальной точки обусловлено и определяется действием сил. Следовательно, если известны силы и начальные условия (положение и скорость материальной точки в начальный момент времени), то можно найти изменение ее движения. В этом и заключается основная (идеальная) задача динамики: в основной задачи динамики по заданным силам и начальным условиям определяют изменение движения системы (механическое состояние системы).

Чтобы найти изменение движения тела, необходимо знать закон его движения. Определение закона движения по какому-либо известному параметру движения (и начальным условиям), как было показано выше, составляет содержание обратной задачи кинематики. Какой-либо параметр движения материальной точки определяется в динамике путем последовательного применения второго закона Ньютона для описания движения каждого тела системы. Этот закон записывают или в форме

(2.14)

(тогда определяют вектор ускорения каждого тела и, решая обратную задачу кинематики, находят закон движения), или в виде (2.12) (тогда находят вектор скорости каждого тела и после решения обратной задачи кинематики определяют закон движения), или в форме (2.13) (тогда получают непосредственно закон движения, решив это дифференциальное уравнение).

Для того, чтобы в каждом конкретном случае правильно записать второй закон Ньютона, необходимо знать метод применения этого закона. Этот метод достаточно подробно был приведен в подразделе 1.1.1.

4. Двигатель тормозной системы развивает силу тяги, пропорциональную времени: , где . Пренебрегая трением, определить, через сколько времени от момента включения тормозного двигателя тело массы т, на котором установлен такой двигатель, остановится. В момент включения двигателя скорость тела составляла . Считать, что масса двигателя много меньше массы тела.

Решение. Физическая система состоит из одного тела массой т, которое можно принять за материальную точку. Физическое явление, которое происходит в системе, заключается в движении этого тела в результате взаимодействия с другими телами. Необходимо определить один из параметров этого движения – время движения . Начальные условия очевидны: и х=0 при t=0. Траектория движения – прямая (т.е. движение одномерное). Конечная скорость тела равна нулю: v=0 при t=. Таким образом, рассматриваемая задача является основной задачей динамики.

Применим второй закон Ньютона (условие его применимости выполнимы). За тело отсчета примем Землю (инерциальная система отчета). На тело действуют три силы (рис. 2.3): сила тяжести , упругая сила реакции опоры (эти силы взаимно уравновешивают друг друга) и сила тяги тормозного двигателя. По второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение для одной неизвестной функции от времени t – скорости v(t):

.

Разделив переменные, интегрируя и учитывая начальные условия ( при t=0), находим закон изменения скорости:

. (2.15)

Полагая в уравнении (2.15) конечную скорость v равной нулю, получаем уравнение для определения времени движение :

.

Отсюда находим формулу для вычисления искомого времени:

. (2.16)

После анализа решения можно поставить и другие задачи, например, определить тормозной путь тела и т.д. Для определения тормозного пути х₁ необходимо знать закон движения. Последний получают после решения обратной задачи кинематики:

. (2.17)

Подставляя в закон движения (2.17) значение времени торможения из (2.16), находим тормозной путь:

.

Далее, зная закон движения тела, можно определить любые параметры и величины данного физического явления. Нетрудно и еще более усложнить задачу, учтя, например, силу трения и т.д.

Мы рассмотрели несколько различных (с постоянными и переменными силами) задач на динамику материальной точки. Но метод, подход к решению задач был одним и тем же: это был метод применения трех законов Ньютона (в особенности второго) для определения какого-либо параметра движения (скорости и ускорения ). Далее для нахождения закона движения обычно решалась обратная задача кинематики. Совокупное применение трех законов Ньютона (особенно второго) и составляет сущность динамического решения задач по физике.