2. Второе начало термодинамики

В результате какого либо процесса система может вернуться в исходное состояние. Такой процесс называют круговым или циклическим. Коэффициент полезного действия (к.п.д.) произвольного цикла

, (4.18)

где – теплота, полученная системой от нагревателя,

– теплота, отданная системой холодильнику.

Для цикла Карно (две изотермы и две адиабаты)

, (4.19)

где – температура нагревателя,

– температура холодильника.

Приведенной теплотой элементарного процесса называют отношение . По теореме Клаузиуса, сумма приведенных теплот для произвольного цикла меньше нуля, а для обратимого цикла равна нулю:

. (4.20)

Отсюда, как следствие, вытекает, что сумма приведенных теплот (т.е. ) для любого обратимого процесса не зависит от вида процесса, а определяется лишь начальным (1) и конечным (2) состояниями системы. Далее вводится понятие энтропии S системы как функции состояния, изменение которой зависит только от начального и конечного состояний системы:

, (4.21)

где интегрирование проводится по любому обратимому процессу, в результате которого система переводится из состояния 1 в состояние 2.

3. Цикл (рис. 4.3) состоит из двух изотерм (Т₁=600 К, Т₂=300 К) и двух изобар (р₁=4р₂). Определить к.п.д. цикла, если рабочим веществом служит один моль идеального газа, молекулы которого имеют пять степеней свободы (i=5).

Решение. Физическая система состоит из одного моля идеального газа. В этой системе происходит круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух изобар (рис. 4.3). Для нахождения к.п.д. цикла по формуле (4.18) необходимо определить Q₁ и Q₂. Система получает теплоту Q₁ при изобарном переходе из состояния 1 с параметрами p₁, V₂, T₂ в состояние 2 с параметрами p₁, , T₁ и при изотермическом расширении из состояния 2 в состояние 3 с параметрами p₂, V₂, T₁:

. (4.22)

Система отдает теплоту Q₂ холодильнику при изобарическом переходе из состояния 3 в состояние 4 с параметрами p₂, , T₁ и при изотермическом сжатии из состояния 4 в состояние 1:

. (4.23)

Из закона Бойля – Мариотта для изотерм T₁ и T₂

p₁=p₂V₂ и p₁V₁=p₂

следует, что .

Подставляя эти отношения объемов в формулы (4.22) и (4.23) и учитывая (4.18), находим

.

Используя известное соотношение окончательно получаем

.

Расчет дает .

К.п.д. цикла Карно для таких же температур нагревателя T₁ и холодильника T₂: , .

4. Определить изменение энтропии одного моля идеального газа в изобарном, изохорном и изотермическом процессах.

Решение. Физическая система – один моль идеального газа – участвует в трех процессах. Эти процессы квазистатические и обратимые. Следовательно, изменение энтропии можно получить непосредственно по формуле (4.21).

Для изобарного процесса

Для изохорного процесса

Для изотермического процесса

2. Молекулярно-кинетическая теория

   1. Распределение Максвелла – Больцмана

В статистическом методе в отличие от термодинамического существенным является предположение о «зернистой» структуре макротел. В этом методе используют следующие (подтверждаемые многочисленными опытами) положения: все макротела состоят из микрообъектов; микрообъекты участвуют в хаотическом движении; микрообъекты взаимодействуют между собой. В классической статистической физике предполагают, что два одинаковых микрообъекта не тождественны. Поведение одной микрочастицы (материальной точки) рассматривают в шестимерном фазовом пространстве (μ-пространстве) координат (x, y, z) и проекций вектора импульса (p_x, p_y, p_z) или вектора скорости (v_x, v_y, v_z). Ее состояние определяется точкой в этом пространстве. Если микрочастица движется хаотически, то ее нахождение в элементе объема dτ=dxdydzdp_xdp_ydp_z этого пространства является случайным событием, вероятность которого

dω=f(x, y, z, p_x, p_y, p_z) dτ (4.24)

где f – функция распределения (плотность вероятности).

Функция f удовлетворяет условию нормировки

. (4.25)

В (4.25) интегрирование производится по всему фазовому пространству. С помощью функции f можно определить среднее значение некоторой функции φ(x, y, z, p_x, p_y, p_z):

. (4.26)

Распределение Максвелла – Больцмана молекул в μ-пространстве имеет вид

, (4.27)

где потенциальная энергия молекулы.

Распределение Максвелла – Больцмана можно рассматривать как два независимых распределения в трехмерном пространстве импульсов (распределение Максвелла)

, (4.28)

и в трехмерном пространстве координат (распределение Больцмана)

, (4.29)

где А и В – постоянные, определяемые из условия нормировки (4.25).

учитывая это условие, получаем распределение Максвелла:

. (4.30)

Из распределения Максвелла (4.30) можно получить распределение по компонентам скоростей

, (4.31)

распределение по модулю скорости v

, (4.32)

распределение по кинетической энергии

(4.33)

и другие распределения.

В состоянии термодинамического равновесия макросостояние системы, состоящей из N частиц, характеризуется сравнительно небольшим числом макропараметров (физических величин, которые можно определить путем измерения из эксперимента), имеющих определенное, независящее от времени значение. Вследствие хаотического движения частиц их положение и скорости непрерывно изменяются. Следовательно, изменяются микросостояния системы, в то время как макропараметры остаются постоянными. Таким образом, одному и тому же макросостоянию соответствует множество микросостояний. Поэтому любые макроскопические величины зависят от микроскопических параметров. В статистической физике принимается, что наблюдаемые экспериментально физические величины (макропараметры) могут быть найдены как среднее значения, вычисленные по множеству допустимых микросостояний (см. 4.26). Вследствие этого одной из основных задач, решаемых статистическим методом, является нахождение средних значений различных физических величин и определение среднего числа dN (из данных N), обладающих некоторым свойством.

5. Азот находится под давлением р=1 атм при температуре Т=300 К. найти относительное число молекул азота, модуль скорости которых лежит в интервале скоростей от <v> до <v>+dv, где dv=1 м/с. Внешние силы отсутствуют.

Решение. При давлении р=1 атм и температуре Т=300 К азот можно считать идеальным газом. В отсутствии внешних сил молекулы идеального газа подчиняются закону распределения Максвелла. Конкретный вид этого закона определяется из условий задачи – необходимо использовать распределение Максвелла по модулю скорости (4.32):

, (4.34)

где число молекул из данных N, модуль скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, m – масса молекулы.

Как известно, выражение (4.34) справедливо, если интервал скоростей dv столь мал, что изменением функции распределения

(4.35)

на этом интервале скоростей можно пренебречь, считая ее постоянной. В нашем случае интервал dv=1 м/с мал по сравнению со значением средней скорости при данной температуре (). Кроме того, функция распределения в области средней скорости изменяется весьма слабо (рис. 4.4). Поэтому выражение (4.34) практически решает задачу. Подставив в (4.34) значение средней скорости , получаем решение задачи в общем виде

.

Произведя вычисления, получим .