3. Элементы теории физических полей

   1. Поле тяготения

      1. Основная задача в теории поля тяготения

Основной закон поля тяготения – закон всемирного тяготения Ньютона:

, (3.1)

где 6,67·10^-11 Н·м²/кг² – гравитационная постоянная.

В форме (3.1) закон справедлив лишь для материальных точек и сферических тел. Этот закон можно записать в векторном виде:

, (3.2)

где – вектор силы тяготения, действующей на тело т₂, радиус-вектор, проведенный из тела т₁ к телу т₂ (рис. 3.1).

Основной характеристикой каждой точки поля тяготения является напряженность – векторная величина, определяемая из уравнения

, (3.3)

где сила тяготения, действующая на материальную точку с массой т₀, помещенную в данную точку.

Напряженность и потенциал поля тяготения, созданного материальной точкой массы т в точке, удаленной на расстояние r от этой массы, выражаются формулами

, (3.4)

. (3.5)

напряженность и потенциал одной и той же точки поля тяготения связаны между собой соотношением

. (3.6)

Состояние рассматриваемой физической системы (поля тяготения) определяется значением вектора в любой точке поля. Напряженность поля тяготения является его фундаментальной характеристикой в том смысле, что, зная , можно определить не только любой параметр, характеризующей само поле, но и описать поведение физических систем в этом поле. Действительно, из соотношения (3.6) можно определить потенциал , из уравнения (3.3) можно найти силу, с которой поле действует на тело, находящееся в этом поле. Если известны начальные условия для этого тела, то, применяя динамический метод, можно определить закон его движения. Зная же закон движения тела, можно найти все остальные характеристики и параметры, определяющие его движение. Отсюда следует формулировка основной задачи в теории поля тяготения. Она заключается в расчете поля. Рассчитать поле тяготения – это значит в каждой его точке определить вектор напряженности или потенциал .

2. Поле тяготения системы материальных точек

В основе метода расчета физических полей лежит фундаментальный физический принцип – принцип суперпозиции. В том случае, если поле создано системой материальных точек, сначала определяют поле для каждого тела отдельно. Затем по принципу суперпозиции находят результирующее поле (вектор ) как геометрическую сумму векторов напряженности:

. (3.7)

Поле тяготения одной материальной точки рассчитано выше. Описание движения даже одного тела в поле тяготения материальной точки представляет некоторые математические трудности. Заметим, что физически решить такие задачи, т.е. составить замкнутую систему уравнений, применяя динамический метод, или метод законов сохранения, относительно легко. Трудности для студентов младших курсов возникают на математическом этапе, когда необходимо решить полученную систему (обычно дифференциальных) уравнений.

Сначала полезно решить несколько элементарных задач на оценку: рассчитать напряженность и потенциал поля тяготения на поверхности Луны, Солнца, Марса (указав, что 9,8 м/с² – это напряженность поля тяготения на поверхности Земли), определить (оценить) первую и вторую космические скорости для Земли, Луны, Марса и т.д.

Затем можно сформулировать задачу на описание движения материальной точки в известном поле тяготения. Целесообразно даже дать ее как непоставленную.

1. На северном полюсе Земли вертикально вверх запускают ракету с начальной скоростью v₀ (т.е. предполагается, что двигатели ракеты мгновенно сообщают ей начальную скорость v₀ и далее отключаются). Описать ее движение.

Решение. Задача непоставлена. Первое упрощение очевидно: сопротивлением воздуха пренебрегаем. Ракету можно принять за материальную точку. Описать ее движение возможно, если будет найден закон движения ракеты. Закон движения существенно зависит от значения начальной скорости v₀. Предположим, что v₀ столь мала, что в точке наивысшего подъема ускорение свободного падения g₁ (а это напряженность поля тяготения Земли) незначительно отличается (скажем, не более чем на 1 %) от ускорения свободного падения g₀ на поверхности Земли. Полезно оценить эту высоту h₁ и соответствующую начальную скорость v₀₁. Так как, по предположению, и

,

то и , т.е. 32 км и 800 м/с.

Таким образом, если , то ускорение ракеты приблизительно постоянно и мы получаем тривиальную школьную задачу о равнозамедленном движении материальной точки вертикально вверх с постоянным ускорением . Закон движения в этом случае записываем в виде

и далее определяем любой параметр движения.

Не будем также рассматривать и случай, когда начальная скорость больше или равна 11,2 км/с – второй космической скорости для Земли. Итак, мы можем сформулировать первую задачу в таком виде.

2. На северном полюсе Земли вертикально вверх запускают ракету с начальной скоростью , удовлетворяющей условиям . Найти закон ее движения. Сопротивлением воздуха пренебречь. Действие Луны, Солнца и других тел на движение ракеты не учитывать.

Решение. В физическую систему включим два тела: ракету и Землю. Ракету можно принять за материальную точку. Поле тяготения Земли (сферическое тело) известно. Происходит движение материальной точки (ракеты) в известном (неоднородном) поле тяготения. Необходимо определить закон движения ракеты. Это основная задача динамики материальной точки.

Применим второй закон Ньютона. Инерциальную систему отсчета свяжем с Землей (так как масса Земли значительно больше массы ракеты, то Землю принимаем за неподвижное тело), ось ОХ направим вертикально вверх, начало координат поместим в центр Земли. На ракету действует единственная сила – сила тяготения. Очень важно отметить, что эта сила переменная. Тогда по второму закону Ньютона,

(для ). (3.8)

Задача физически решена: получено одно дифференциальное уравнение для неизвестной функции координаты ракеты, которая и является искомым законом движения. Однако решение этого уравнения для студентов младших курсов является весьма затруднительным. Необходимо подчеркнуть два момента. Во-первых, нужно отметить, что уравнение (3.8) в принципе решается и в конечном итоге можно получить искомый закон движения ракеты. Во-вторых, уже здесь можно сказать студентам, что иногда в процессе решения физических задач получаются такие уравнения, точного решения для которых не существует вообще. Тогда необходимо обратиться к компьютерным расчетам для получения числовых и приближенных решений.

Попробуем упростить постановку задачи, используя не динамический метод, а метод законов сохранения. Применим закон сохранения энергии к выбранной системе Земля – ракета:

, (3.9)

где v – скорость ракеты в точке с координатой х.

Отсюда можно определить максимальную координату ракеты (при v=0):

. (3.10)

Если начальная скорость , например, равна первой космической скорости , то максимальная координата , а максимальная высота подъема 6400 км. Из уравнения (3.9) можно получить зависимость скорости ракеты от координаты х:

. (3.11)

График этой зависимости представлен на рисунке 3.2. теперь можно сформулировать вторую, более простую задачу.

3. На северном полюсе Земли вертикально вверх запускают ракету с начальной скоростью , удовлетворяющей условиям . Определить максимальную высоту подъема ракеты, а также ее скорость в произвольной точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь. Действие Луны, Солнца и других тел на движение ракеты не учитывать.

Решение этой задачи уже получено (см. формулы (3.10) и (3.11)).

Заметим, что в рассмотренных задачах необходимо более детально оценить верхний предел начальной скорости: при скоростях, близких к , высота подъема ракеты становится настолько большой, что влиянием Луны, Солнца и других тел на движение ракеты уже пренебрегать нельзя.