5Уравнение движения при высоких скоростях. Возрастание массы при увеличении скорости. Эквивалентность массы и энергии. Релятивистское движение частиц в магнитном поле.

5.1Возрастание массы при увеличении скорости

Если заставить электроны с различными скоростями двигаться в параллельных электрическом и магнитном полях, как было описано в предыдущем разделе, то кривая, появляющаяся на экране, отличается от ожидаемой параболы. Это означает, что у электронов, имеющих различные скорости, отношение e=me неодинаково. Принципиально можно было бы, конечно, предположить, что изменяется и заряд, однако на основании фундаментальных соображений уже сегодня, исходя непосредственно из результатов опыта, можно утверждать, что заряд постоянен. Упомянутый опыт доказывает, что изменяется масса движущегося электрона.

Для экспериментального определения зависимости массы от скорости необходимо выбрать такой метод, в котором заранее не предполагались бы ни постоянство массы, ни конкретный вид формулы, описывающей изменение массы. С этой целью будем измерять скорость, используя устройство для получения частиц с одинаковыми скоростями

.v D E=B/, и вводить затем частицы с массой m D m.v/ в магнитное поле. Так как сила перпендикулярна направлению движения, то она не изменяет скорости частицы

.v D CONST/, так что масса m.v/ остается во время движения постоянной, но, разумеется, большей, чем масса покоя. Измеряя радиус искривления траектории, можно на основании соотношения r D mv=qB определить m для уже измеренного ранее значения скорости. Опыты дают следующую зависимость:

Эта формула изменения массы и получаемая отсюда связь массы и энергии следуют из теории относительности, построенной на основе общих фундаментальных соображений. Описанное измерение может, следовательно, рассматриваться как одно из экспериментальных доказательств теории относительности. Мы будем рассматривать предыдущее положение как непосредственно полученную экспериментальную закономерность, заметив при этом, что выведенные из нее следствия носят общий характер.

Масса каждого материального объекта, движущегося со скоростью v, зависит в соответствии с приведенным выше соотношением от скорости. Таким образом, масса увеличивается при увеличении скорости и стремится к бесконечности, когда скорость приближается к скорости света c. Поэтому последняя является предельной скоростью для всех частиц, обладающих конечной массой покоя.

5.2Эквивалентность массы и энергии

Из сказанного следует, что второй закон Ньютона справедлив лишь в первоначальной формулировке, данной Ньютоном:

25

Подсчитаем работу, совершенную силовым полем по перемещению частицы на участке траектории d rE. Справедливо равенство:

Таким образом, совершение работы привело к приросту массы. Если скорость увеличилась от v D 0 до любого значения v, то работа выразится формулой

Wk D mc2 m0c2:

К этому важному выражению можно прийти более строгим путем, если воспользоваться выражением для мощности

Это соотношение интерпретируется как общее положение: любой системе с массой m соответствует энергия mc2, т. е.

Масса покоя m0 соответствует энергии m0c2.

При увеличении скорости увеличивается энергия, что как раз и проявляется в форме возрастания массы. Из предыдущего следует, что прирост энергии может быть выражен в виде

26

Полученное выражение дает точное значение кинетической энергии. Если v c, то, используя известное разложение в ряд

В случае малых скоростей мы приходим снова к классическому выражению для кинетической энергии.

Используя закон сохранения энергии, можно определить скорость, которую приобретает частица, ускоряемая разностью потенциалов U . Потенциальная энергия qU в этом случае идет на приращение массы частицы:

Из двух последних соотношений следует, что при безграничном увеличении напряжения скорость растет не до бесконечности, а асимптотически приближается к скорости света c. Если значения U малы, то полученная формула при условии, что можно удовлетвориться первым членом разложения в ряд по степеням qU =m0c2, переходит в прежнее

т.е. до каких пор можно не учитывать увеличение массы, принимать ее в уравнениях за постоянную величину и выносить за знак дифференциала.

Пусть приращение энергии частицы под действием силового поля выражается в виде

27

где m — приращение массы, а m=m0 — отношение m к исходной массе. Поскольку

m0c2 D W0

представляет собой энергию покоя, то

m D Wk : m0 W0

Это означает, что фактом приращения массы пренебрегают до тех пор, пока прирост энергии можно не учитывать по сравнению с энергией покоя.

Отсюда сразу следует, что чем меньше масса покоя частицы, тем при меньших энергиях необходимо учитывать релятивистские поправки; наиболее чувствительным к изменению массы является электрон. Рассмотрим теперь числовые значения.

Энергия покоя электрона равна:

W0e D me c2 D 9:1 10 31.3 108/2 D 8:19 10 14 Вт с D 5:11 105 эВ, т. е. почти 1=2 млн. эВ. Это значит, что при прохождении электроном разности потенциалов 500 000 В его масса почти удваивается.

Энергия покоя протона превышает энергию покоя электрона пропорционально соот-

ношению их масс:

W0p D mp 0:511 D 938:3 МэВ: me

Масса протона в большинстве физических опытов может рассматриваться как постоянная, а масса электрона с энергией в 10 000 эВ почти на 2% превышает его массу покоя (рис. 19).

а) б)

Рис. 19. Изменение массы как функции v=c (а) и скорости как функции энергии (б) ( 1 — электрон 2 — протон).

Эквивалентность массы и энергии справедлива, естественно, и для фотона. Энергии h соответствует масса, определяемая соотношением hv D mc2. Отсюда масса движущегося со скоростью света фотона равна m D hv=c2. Эта масса может иметь конечное значение лишь при условии, что масса покоя фотона равна нулю. Фотон обладает им-

Скорость тоже может быть выражена путем несложных преобразований через им-

пульс и энергию, а именно:

v D pc2=W:

28

5.3Релятивистское движение частиц в магнитном поле

Релятивистское уравнение движения в однородном магнитном поле имеет вид:

Действующая сила перпендикулярна к скорости, так что она меняет лишь направление импульса; масса же при движении остается постоянной (при условии, что скорость движения частиц не изменяется), но не совпадающей с массой покоя. Все, что говорилось о скорости при нерелятивистском обсуждении, теперь следует отнести к импульсу. Умножая исходное уравнение на mvE, получаем:

Рис. 20. К расчету круговых траекторий в магнитном поле электронов (а); протонов и тяжелых ионов, ускоренных при разных напряжениях (б). Пунктирная линия (на диаграмме а) представляет значения, полученные при нерелятивистском расчете. Числа, проставленные около кривых, дают значения m=m0.

Это является утверждением, что частица и при релятивистских скоростях движется в однородном магнитном поле по круговой орбите, если начальная скорость перпендикулярна магнитному полю, и что справедливо уже известное соотношение

mv2

r

D qvB;

где m — увеличенная масса. На основании этого уравнения импульс движущейся частицы

Если известны индукция B, радиус кривизны траектории r и природа частицы, то последняя формула позволяет определить скорость v, а вместе с ней массу m и затем

полную энергию

W D mc2

или разность энергий

W D mc2 m0c2

Приращение энергии электронов и протонов при разных значениях Br показано на рис. 20. Эта диаграмма может служить для определения основных размеров различных ускорителей частиц и масс-спектрографов при заданной конечной энергии.

29