В заключение приведем некоторые количественные соотношения. Выражение для излучаемой мощности в релятивистском случае имеет вид

Энергия, полученная в циклических ускорителях при одном обороте, естественно, должна быть больше, чем излученная энергия. Именно это и ограничивает практически достижимую энергию значениями примерно 300–400 МэВ для бетатронов и 500–600 МэВ для синхротронов.

10.5 Излучение Черенкова

Излучение Черенкова отличается от излучения электрона, движущегося с ускорением. Это излучение можно наблюдать, если электрон, движущийся в прозрачной среде, имеет скорость большую, чем скорость распространения света в данной среде: v > c=n, где n — показатель преломления (рис. 73). Этот факт, конечно, не противоречит теории относительности.

Такое свечение наиболее заметно в атомных реакторах с водяным охлаждением или с водяным замедлителем, где электроны ˇ-распада при движении в воде дают голубоватое излучение Черенкова. Качественное объяснение этого явления несложно. Электрон, движущийся медленно в среде, поляризует частицы этой среды, которые таким образом получают энергию поля приближающегося электрона. При удалении электрона поляризация прекращается и диполи отдают полю свою энергию.

Если электрон движется вперед со скоростью большей, чем скорость распространения электромагнитной энергии диполей в среде, то он «убегает» от возвращаемой энергии. Последняя отрывается от поля электрона и отдается диполями в виде энергии излучения. Таким образом, излучают не сами электроны, а диполи.

92

Аналогичное явление встречается в аэродинамике при движении тел со сверхзвуковой скоростью.

Одним из направлений применения излучения Черенкова является использование этого эффекта для счета частиц (рис. 74).

Использование законов сохранения энергии и импульса позволяет получить точное выражение, определяющее направление излучения. Если pE — импульс электрона перед возникновением

фотона с энергией h и импульсом h= , a pE1 — импульс электрона после излучения, то на осно- q

p2c2 C m20c4 (см. п. 5.2, (9)) для энергии можно написать:

q

p2c2 C m20c4 h D p12c2 C m20c4:

Закон сохранения импульса имеет в данном случае вид:

где nE0 — единичный вектор в направлении распространения фотона. После возведения этих двух уравнений в квадрат получим

В этих уравнениях использованы соотношения

q

W D p2c2 C m20c4 и pEnE0 D p cos #:

Если решить первое уравнение относительно p12 и подставить полученное значение в правую часть второго уравнения, то можно получить выражение для cos # :

Учитывая далее, что W =pc2/v, перепишем найденную формулу в виде

93

Поскольку произведение представляет собой скорость света в среде и, следовательно, D c=n, окончательно можно записать

Формула показывает, что согласно точной теории угол зависит от энергии и от длины волны излучения. При больших значениях W и указанной зависимостью можно пренебречь.

Вопрос о распределении интенсивности в излучении Черенкова слишком сложен и здесь не рассматривается. Теоретически эта задача решена Иваненко и Таммом.

Отметим, что в видимой области при длине волны 1 см максимальное число излученных фотонов достигает 450.

94

11Экспериментальные факты как основа квантово-ме- ханической модели. Излучение твердого тела. Постоянная Ридберга. Ультрафиолетовая катастрофа.

Впервой главе мы познакомились с методами измерения характеристик различных частиц, таких, как масса, заряд, магнитный момент. Специальные опыты послужили конкретным доказательством дискретности массы и заряда. Заряд частицы всегда кратен заряду электрона, масса кратна массе электрона, протона или нейтрона, если не учитывать поправку, связанную с дефектом массы. Для значения магнитного момента частиц также характерна дискретность. Таким образом, целые числа играют особую роль в физике микрочастиц, очень часто вместо непрерывных значений физических величин в классической физике приходится иметь дело с их дискретными значениями. В измерительной технике это проявляется в том, что при измерении какой-то величины, например удельного заряда, вместо непрерывно распределенного почернения на фотопластинке получают более или менее резкие линии. К подобным же результатам приводят измерения магнитного момента. Квантовая теория отличается от классической механики именно тем, что она отбирает из множества значений отдельных физических величин, получаемых при измерениях, лишь ряд значений, определяемых целыми числами2.

Наряду с уже упомянутыми квантованными, т.е. дискретными, характеристиками простейшей микросистемы (атома) квантование энергии подтверждается фактом, который заключается в том, что атом, сталкиваясь с электроном, может отобрать у него лишь определенную энергию. Атомы, переведенные при этом из основного состояния в более высокое состояние, называются возбужденными. На основании эксперимента известно также, что они очень быстро возвращаются в исходное состояние, причем излучают свет определенной длины волны или частоты. Целые числа появились впервые в формуле Бальмера, описывающей закономерность спектра водорода, состоящего из дискретных линий.

Известно, что атом состоит из положительно заряженного ядра и отрицательно заряженных электронов. Мы знаем, что подобное образование никак не могло бы находиться в статическом равновесии, если бы действовали только электрические силы: ядро атома притянуло бы к себе электрон. Простейшее объяснение: электрон движется вокруг ядра по замкнутой, например круговой, орбите, причем центробежная сила, так же как при обращении планет вокруг Солнца, препятствует падению на ядро. Далее известно, что электрон, двигаясь по, круговой орбите, излучает энергию, следовательно, это динамическое равновесие тоже невозможно. Задача усложняется еще и тем, что по классической теории всегда можно задать электрону скорость, соответствующую орбите любого радиуса, так что он будет находиться точно на этой орбите. Это значит, что не существует ни одного выделенного значения для энергии или орбиты.

Большое значение в истории физики сыграло исследование теплового излучения, а именно теоретическое объяснение излучения абсолютно черного тела. Тепловое излучение — это испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии тела. Все остальные виды излучения объединяются под названием люминесценция. Из всех видов излучения равновесным может быть только тепловое излучение. К равновесным состо-

2Квантовая механика ограничивает набор численных значений, полученных теоретически, рядом величин, кратных целочисленным значениям некоторого ограниченного набора квантовых чисел. При этом оказывается, что эксперимент также обнаруживает существование именно этого дискретного набора значений измеряемых физических величин.

95

яниям и процессам применимы законы термодинамики, которые, следовательно, могут быть использованы при описании теплового излучения.

Поток энергии, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного угла 2 ) называют энергетической светимостью тела R. Излучение состоит из волн различных частот ! (или длин ). При малом интервале d! поток dR! будет пропорционален d!:

dR! D r! d! ;

где r! — испускательная способность тела. r! зависит от частоты и температуры. Энергетическая светимость теплового излучения RT :

ZZ1

RT D dR!T D r!T d! :

0

Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток лучистой энергии d˚! , обусловленный электромагнитными волнами, частота которых заключена в интервале d!. Часть этого потока d˚!0 будет поглощена телом. Безразмерная величина

d˚ 0

˛!T D !

d˚!

называется поглощательной способностью тела. Поглощательная способность тела зависит от частоты и температуры. По определению ˛!T не может быть больше 1. Для полностью поглощающего попавшее на него излучение всех частот ˛!T =1. Такое тело называют абсолютно черным.

Для соотношения r!T и ˛!T справедлив закон Кирхгофа: отношение испускательной

и поглощающей способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел одной и той же (универсальной) функцией частоты (длины волны) и температуры:

r!T D f .! ; T /: ˛!T

Сами величины r!T и ˛!T могут меняться чрезвычайно сильно при переходе от одного тела к другому.

Для абсолютно черного тела по определению ˛!T D 1. Следовательно, r!T для такого тела равнаf .! ; T /, и f .! ; T / — испускательная способность абсолютно черного тела. В экспериментальных работах удобнее пользоваться функцией длины волны '. ; T /3:

Абсолютно черных тел в природе не существует, однако можно создать устройство, сколь угодно близкое к абсолютно черному телу. Такое устройство представляет собой почти замкнутую полость, снабженную малым отверстием. Излучение, проникшее внутрь через отверстие, претерпевает многократные отражения. При каждом отражении

Для электромагнитного излучения v D c, следовательно, D 2! с и ! D 2 с .

96

часть энергии поглощается, в результате чего практически все излучение любой частоты поглощается такой полостью. Согласно закону Кирхгофа испускательная способность такого устройства очень близка к f .! ; T /, причем T — температура стенок плоскости.

Таким образом, если стенки полости поддерживать при некоторой температуре T , то из отверстия выходит излучение, весьма близкое по спектральному составу к излучению абсолютно черного тела при той же температуре. Разлагая это излучение в спектр и измеряя интенсивность различных участков спектра, можно найти экспериментально вид функций f .! ; T /, и '. ; T / (см. рис. 75). Площадь, охватываемая кривой, дает энергетическую светимость абсолютно черного тела при соответствующей температуре. Энергетическая светимость абсолютно черного тела сильно возрастает с температурой. Максимум испускательной способности с увеличением температуры сдвигается в сторону более коротких (высокочастотных) волн.

ϕ(λ,Т), 1011Вт/м3

4

3

2

Рис. 76. Формула Рэлея-Джинса.

Рассмотрим излучение, находящееся в равновесии с веществом. В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью u D u.T /. Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией u.! ; T /, определяемой условием du! D u.! ; T /d!, где du! — доля плотности энергии, приходящейся на интервал частот d!. Полная плотность энергии u.T / связана с функцией u.! ; T / формулой

Z1

u.T / D u.! ; T /d! :

0

Из термодинамических соображений следует, что равновесная плотность энергии излу-

Рэлей и Джинс сделали попытку определить равновесную плотность излучения u.! ; T /, исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии

97

по степеням свободы — на каждую колебательную степень свободы приходится в среднем энергия 2 12 kT . Они предположили, что на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная kT : 12 kT на электрическую и 12 kT на магнитную составляющую волны.

Равновесное излучение в полости представляет собой систему стоячих волн. Без учета поляризации количество стоячих волн в единице объема определяется формулой

!2d! d n! D 2 2v3 ;

в которой скорость распространения волны v нужно положить равной c. Вдоль заданного направления могут распространяться две электромагнитные волны, отличающиеся направлением поляризации (поляризованные во взаимно перпендикулярных направлениях). Чтобы учесть это обстоятельство, нужно приведенное выражение умножить на

два. В результате получим:

!2d! d n! D 2c3 :

Умножив полученное выражение на < " >D kT , получим плотность энергии, приходящуюся на интервал частот d!:

!2

u.! ; T /d! D< " > d n! D kT 2c3 d! :

Отсюда

!2

u.! ; T / D 2c3 kT:

Перейдя от u.T / к f .T / получим выражение для испускательной способности абсолютно черного тела

!2

f .! ; T / D 4 2c2 kT:

Два последних выражения называются формулой Рэлея-Джинса. Эта формула удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при больших длинах волн и резко расходится с опытом для малых длин волн (высоких частот). Интегрирование выражения для u.! ; T / по d! в пределах от 0 до 1 дает для равновесной плотности энергии u.T / бесконечно большое значение. Этот результат также находится в противоречии с опытом и получил название ультрафиолетовой катастрофы.

Планк предположил, что электромагнитное излечение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:

" D ~! :

Коэффициент пропорциональности ~ получил впоследствии название постоянной Планка, его значение равно: ~ D 1:054 10 34 Дж с D 1:054 10 27 эрг с D 0:659 10 15 эВ с.

Если излучение испускается порциями ~!, то его энергия "n должна быть кратной этой величине

"n D n~! .n D 1; 2; :::/:

В состоянии равновесия распределение колебаний по значениям энергии должно подчиняться закону Больцмана. Вероятность Pn того, что энергия колебания частоты ! имеет значение "n, определяется выражением

98

Зная вероятность различных значений энергии колебаний, можно найти среднее значение этой энергии

P

n

nD0

Обозначим ~!= kT D x и допустим, что x может изменяться, принимая непрерывный ряд значений. Тогда

nD0

Под знаком логарифма стоит сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем прогрессии равным e x . Так как знаменатель меньше единицы, прогрессия будет убывающей, и по известной из алгебры формуле

Подставив это значение суммы и выполнив дифференцирование, получим

Наконец, заменив x его значением ~!= kT , получим окончательное выражение для средней энергии излучения частоты !:

~!

< " >D e~!= kT 1 :

Заметим, что при ~ ! 0, последняя формула переходит в классическое выражение < " > D kT . Таким образом, если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, то ее среднее значение было бы равно kT .

Перемножив выражения для d n! и < " >, получим плотность энергии, приходящуюся на интервал частот d!:

99

Последние выражения носят название формул Планка. Они точно согласуются с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до 1. Таким образом, формулы Планка дают исчерпывающее описание равновесного теплового излучения.

При условии, что ~!= kT 1 (малые частоты или большие длины волн), экспоненту e~!= kT можно положить приближенно равной 1 C ~!= kT , в результате чего формулы Планка переходят в формулы Рэлея-Джинса. Это следует также из того, при указанном условии < " >Š kT .

100