Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект Клемешева.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

10.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Коэффициенты cn могут быть определены; для этого следует умножить слева уравнение на n. Учитывая, что

.ψn; ψm/ D ınm;
находим:
.ψn; ψ/ D .ψn; cnψn/ D cn .ψn; ψn/ D cn:	(147)

Теперь можно обобщить и дополнить то, что было получено ранее. Квантовая механика сопоставляет каждой физической величине линейный самосопряженный (эрмитов)

оператор	O	. Этот оператор имеет в качестве решений уравнения		O	D L , собствен-
	L			L
ные функции 1,			2, . . . , n с собственными значениями L1,L2,. . . , Ln. . . Функции эти

являются элементами гильбертова пространства или L2-пространства (функциональное пространство функций, интегрируемых в квадратурах по Лебегу). Микросистема находится в состоянии, характеризуемом функцией (также принадлежащей к L2).

Теория и опыт связаны теперь следующим основополагающим требованием. Ожидаемое значение измеряемой физической величины задается выражением

< L >

.ψ; L ψ/:

(148)

Очевидно, когда нормировано на единицу и D

n совпадает с одной из соб-

ственных функций оператора

, среднее значение записывается в виде

n/ D .

n; Ln

n/ D Ln.

n/ D Ln:

L D< L > .

L ψ

Таким образом, L совпадает с собственным значением Ln, а это означает, что система в состоянии n точно дает измеряемое значение Ln.

Предположим, что микросистема находится в состоянии, характеризуемом функцией

D c I

тогда для ожидаемого значения

< L >	D	O	D	X c ; O	X	D X c ; X c D	2
< L >		.ψ; L ψ/		L	c

X X

D c c D jc j : (149)

15.3 Временное изменение ожидаемого значения

Изменение -функции во времени выражается следующим дифференциальным урав-

нением:		h	@
H	D			:	(150)


O		2 j @t

На основании предыдущего уже можно рассчитать изменение среднего значения во

времени:

/ D

d < L >

ψ L ψ

@ψ

; L ψ

ψ L

@ψ

D dt .

(151)

; O

Если подставить сюда @ =@t , выраженное из предыдущего уравнения, и учесть са-

мосопряженность O	и O	, то
L	H			D		h	; . O O	O O /	i ;
			dt	D	h	h	; . O O	O O /	i ;
			d < L >		2 j		ψ H L	L H ψ
							ψ H L	L H ψ

125

или в операторной форме

2 j

d O

. O

O O

H L

L H/:

В качестве частного случая выберем

D O

и O

O . Тогда

2 j

.H q

q H/

O O

O D

2 j

O O

.H p

p H/:

Из уравнения

; . O O

O O /

d < L >

2 j

ψ H L

L H ψ

(152)

следуют интересные результаты, позволяющие судить о корреляции классической и квантовой механики. Используем уравнение (152) для px или < px >:

dt	D	h	h	; . O O x	O x O /	i	:
d < px >		2 j	ψ	H p p H		ψ
			ψ	H p p H		ψ

O можно записать так:

O D

Тогда

O	O	x	O	O	D	Wp	O	x
			px				p
H p				H

1	px2 C py2 C pz2 C Wp .r /:

2m
		h	@ @					h @W
pO x Wp D			Wp			Wp	D		p
pO x Wp D		2 j	Wp	@x	@x	Wp	D	2 j	@x

и, следовательно,

2 j

d < x >

ψ;

ψ D

2 j

Конечный результат

d < p

@ p

D Fx

показывает, что для ожидаемого значения справедливо классическое уравнение движения.

К аналогичным выводам мы придем, применяя уравнение (152) к величине x:

d < x >	D< vx >D	< px >	:
dt		m

15.4 Роль коммутативности операторов

Так как применение оператора переводит функцию гильбертова пространства в новую функцию этого же пространства, то к этой новой функции может быть применен уже другой оператор. При этом важна последовательность. В общем случае

O O	¤ O O	;
L M	M L

126

или в более простой записи	¤ O O
O O	¤ O O	или	O O	O O	¤ 0:
L M	M L	или	L M	M L

Особое значение имеют коммутирующие операторы, для которых справедливо ра-

венство

O O

O O D 0:

или

L M

M L

L M

M L

Можно сразу показать, что

M L M и M L также являются

L M

для таких операторов

O и

O , O

O O

самосопряженными. Для O

O , например, получим:

/ D . O O

O O

/ D .

O O

;

.ψ; L M ψ/

.L ψ; M ψ

M L ψ

L M ψ; ψ/:

C O O /=2

Если операторы O и O

некоммутирующие, хотя и эрмитовы, оператор . O O

L M

M L

является самосопряженным.

Если операторы O

коммутативны, то их собственные функции одинаковы. И

наоборот, два оператора

и O , имеющие одинаковые собственные функции, коммута-

тивны, т.е. если выполняются условия

n D Ln n;

n D Mn n;

то справедливы равенства

O .Ln n/ D Ln

O O

n D

n n

M L

n D

.Mn n/ D Mn O

n D

n n D

n n

O O

L M

До сих пор коммутативность доказывалась лишь для собственных функций. Но поскольку любую функцию можно представить в виде ряда по собственным функциям,

уравнение	O O	D	O O	оказывается справедливым для произвольной -функции.
	L M		M L

Обратную теорему, а именно то, что коммутирующие операторы обладают одинаковыми собственными функциями, докажем только для невырожденного случая. Примем, что собственному значению Ln соответствует одна единственная собственная функция

n оператора O

, т.е. O

n D Ln

n. Далее пусть оператор O

коммутирует с O . Тогда

n/ D O Ln n

O O

L.M

M.L

Отсюда следует, что функция

n также является собственной функцией оператора

. O

n/ D Ln. O

n/. Поскольку

и относится к собственному значению Ln, так как

L M

собственная функция, соответствующая собственному значению Ln, согласно принятому

предположению является однозначной (с точностью до постоянного множителя), то		O	n
		M
и Mn n должны быть без учета этой постоянной идентичны, т.е.
O	n D Mn n;
M

а это значит, что является собственной функцией оператора O . С коммутативностью

n M

операторов связана принципиальная возможность одновременного измерения. Если операторы коммутативны и n является собственной функцией всех операторов, то в состоянии n можно измерить все величины. Если же, напротив, операторы некоммутативны, то одновременное измерение всех величин с любой точностью невозможно.

127

Определим среднее квадратичное отклонение как ожидаемое значение квадрата оператора отклонения:

т. е.

D O

d D

L 7

< L >

< M >;

(153)

.ψ; .M

< M >/ ψ/

(154)

. L/ .

; . O

< L >/

/ . M /

или на основании того, что операторы эрмитовы,

< L >/ψ; .L

. L/

D .. O

< L >/

(155)

M < M >/ψ; .M

. M / D ..

< M >/ /:

Применив неравенство Шварца

D d

b D

< M >/

;

D . O

< L >/

M ψ:

получим:

ˇ. L ψ; M ψ/ˇ2

ˇ.ψ; L M ψ/ˇ2 :

. L/2. M /2 >

ˇ d

d d

Но так как справедливо

равенство

d d

d d 2

! C

d d

.ψ; L M ψ/

ψ;

L M C

ψ;

L M

M L

ψ ;

то правую часть можно преобразовать

ˇ.ψ; L M ψ/ˇ2 D .ψ; L M ψ/.ψ; L M ψ/ D

ˇ C

ψ;

d d

! C

d d d d

M L

L M M L

! # D

d d d d

ψ; L

M C M Lψ

ψ; L M

M Lψ

!ˇ

d d d d

(156)

ψ;

L M C M L

ψ;

L M M L

ˇ ψ;

ˇψ;

d d

d d ! C

L M

d d

d d !

ψ;

L M

ψ ψ;

L M C

ψ :

7Оператор, изображающий отклонение от среднего, представлен в виде L в книге Блохинцева «Вве-

дение в квантовую механику». МОГИЗ, 1944.

128

Образование сопряженных величин приводит к выражению

d d d d

d d

ψ;

L M C M L

ψ;

L M

ψ;

M L

d d

M L

ψ; ψ! C

ψ; ψ! D

M ψ;

ψ! C

L ψ;

ψ! D

! C

! D

d d

d d d d

M L

L M

d L M

ψ;

ψ ;

а также получим:

d d d d

d d

ψ! D

ψ; ψ!

ψ; ψ! D

L M M L

L M

ψ;

d d

M L

D M ψ;

ψ!

L ψ;

ψ! D

ψ;

ψ!

ψ;

ψ! D

;

D ψ; d d

2 d d ψ!

L M

Два последних члена уравнения (156) превращаются, следовательно, в нуль, так что

!ˇ

C ˇ

!ˇ

d d d d

.L/2 .M /2 >

ψ; L M C M L

ψ; L M

M Lψ

Если отбросить первый член в правой части, то неравенство сохранится. Таким образам, получим:

.L/2 .M /2 >

ˇ ψ;

L M

M L

ψ!ˇ2

d d

доказать, что для

Путем подстановки нетрудно

d d

и O , справедливо правило коммутативности, т. е.

L M

M L D O

(157)

L M

M L :

Тогда конечный

результат запишется в виде

d d d d

L M

M L

O O

.L/2 .M /2 > ˇ

ψ;

ψ!ˇ

(158)

Это самая общая форма принципа

неопределенности Гейзенберга. Пусть, например,

D O

D q

O D

2 j @q I

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.201543.01 Кб37конспект Евгения Онегина.doc
#
16.04.2019104.82 Кб1конспект замула.docx
#
20.11.201827.99 Кб0конспект исправ.docx
#
22.05.20152.48 Mб357КОНСПЕКТ К СЕМИНАРАМ.doc
#
21.09.201929.33 Кб1конспект КиЭС, 2ая часть.docx
#
21.03.201610.86 Mб76Конспект Клемешева.pdf
#
10.08.201933.15 Mб5Конспект лаборабораторных работ ИТвЭ.doc
#
15.04.2015564.22 Кб64Конспект лекций по курсу Введение в биологию1.doc
#
09.11.2018351.74 Кб3Конспект лекций по курсу Введение в биологию1.doc
#
14.04.2019346.62 Кб3Конспект лекций по курсу Введение в биологию1.doc
#
12.11.2018883.71 Кб17Конспект лекций по мат. моделированию.doc