Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Конспект Клемешева.pdf
Скачиваний:
75
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
10.86 Mб
Скачать

8Расчет фокусного расстояния тонкой линзы на основании уравнения движения. Тонкие магнитные и толстые линзы. Пространственный заряд. Спектрометры и масс-спектрографы.

8.1Расчет фокусного расстояния тонкой линзы на основании уравнения движения

Как уже упоминалось, количественное обсуждение соотношений для магнитных линз целесообразно проводить лишь на основе уравнения движения. Для единообразия описания, а также исходя из важности излагаемого вопроса, используем уравнение движения и для определения фокусного расстояния тонких линз

Пусть электрон движется вблизи оси симметрии z, практически параллельно ей. Решим векторное уравнение

 

d

2R

 

 

m

E

 

eE;

(37)

dt 2 D

 

E

 

записав его в уравнениях, выраженных в компонентах вдоль r (радиального) и z направлений:

 

d 2r

 

D

eEr I

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

dt 2

 

 

 

m

d 2z

 

D

eEz :

 

 

 

dt 2

 

 

 

E можно представить как градиент потенциала со знаком минус

Известно, что E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Er D

 

 

@U

I

Ez D

@U

:

 

 

 

 

 

 

 

@r

@z

Тогда уравнения движения можно записать в следующем виде:

d 2r

D

e @U

I

 

d 2z

D

e @U

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

:

(38)

dt 2

m

@r

dt 2

m

@z

К этим двум уравнениям добавим еще закон сохранения энергии

 

 

m

dz

2

 

dr

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

C

 

 

# D eU:

 

(39)

 

 

2

dt

dt

 

Уже предполагалось, что полная энергия W0 электронов равна нулю. Если это не так, то вместо U подставляется U D W0=e C U D U0 C U . Если из трех вышеприведенных уравнений исключить время, то получим уравнение траектории. С этой целью перепишем три уравнения, используя соотношения

 

 

 

 

 

 

d 2z

 

d

z

 

d zP

 

dz

 

z

d zP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt 2

D dt

dt

 

2

D dt P D dz dt

D P dz I

dz2

C P dz dz

D dz

dt dt

D dz dz P

P D P

d 2r

 

d

 

dr

 

d

 

dr dz

 

 

d

 

dr

z

z z2

d 2r

z

dr

 

d zP

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48

Тогда уравнения (38) и (39) приобретают вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

d zP

 

 

e @U

 

z2

d 2r

z

dr

 

d zP

 

e @U

 

(40)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D m @z

 

dz2

 

 

D m @r

I

P dz

I P

C P dz dz

 

 

 

 

dr

2

 

 

dr

2

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zP2 C

 

zP

 

 

D zP2

"1 C

 

 

# D 2

 

U:

(41)

dz

 

dz

m

d zP

Подставив выражение zP dz , полученное из первого уравнения, во второе, решим

его относительно z2 и найденное значение подставим в третье уравнение. В результате получим дифференциальное уравнение траектории:

d 2r

 

@U @U dr

"1 C

 

dr

2

# :

 

D

 

 

 

2U

 

 

 

 

 

 

 

(42)

dz2

@r @z dz

dz

Это уравнение можно упростить. Исследуем параксиальные лучи, почти параллель-

dr

1. Расстояние рассматриваемых лучей от оси, т.е. r , тоже неве-

ные оси, так что

 

dz

лико. Первое условие приводит к упрощенному уравнению

 

 

 

d 2r

@U

@U dr

 

 

 

2U

 

D

 

 

 

 

 

:

(43)

 

 

dz2

@r

@z

dz

Второе условие означает, что в разложении функции U.z; r / в ряд по степеням r можно удовлетвориться двумя первыми членами. Нетрудно убедиться, что потенциальная функция U.z; r / может быть представлена в виде ряда

U.z; r /

D

U

.z/

1

U 00

.z/r 2

C

1

U

.4/

.z/r 4

: : :

C

: : :

(44)

22

22 24

 

 

0

 

0

 

 

0

 

 

 

 

где U0.z/ означает изменение потенциала в направлении оси z, в то время как знак дифференцирования означает взятие производной по z.

В правильности разложения можно убедиться, подставив это выражение в уравнение Лапласа для потенциала U

4U D 0

и проверив, выполняется ли оно. Для симметричной задачи уравнение Лапласа в цилин-

дрических координатах имеет вид:

 

 

 

 

 

 

1 @

r

@U

C

@2U

D 0:

(45)

 

 

 

 

 

 

 

r @r

@r

@z2

Вводя в это уравнение выражение (44) и производя дифференцирование U.z; r /, нетрудно убедиться, что данная функция действительно удовлетворяет уравнению (45).

Ограничиваясь первыми двумя членами разложения, т.е.

U.z; r /

D

U

.z/

 

1

U 00

.z/r 2;

22

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@U

 

 

 

r

U 00.z/

I

 

 

 

@r

 

 

2

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

@U

 

U 0

.z/:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@z

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

49

Окончательное уравнение траектории найдем, подставив эти выражения в уравнение

d 2r

 

U00 .z/ dr

 

U000.z/

 

 

C

 

 

 

C

 

r D 0:

(46)

dz2

2U0.z/ dz

4U0.z/

Основное уравнение можно записать и в иной форме:

d

 

 

 

dr

 

1 U000.z/

 

pU0.z/

D

 

 

 

 

 

 

 

r .z/:

(47)

dz

dz

4

p

 

 

U0.z/

Это выражение может быть уже проинтегрировано. Траектория частицы в точке z D za, r D r .za/ преломляется с углом наклона r 0.za/. Интегрируя обе части уравнения и отбрасывая индекс 0, получаем выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

p

p

 

 

z

p

00.z/

 

 

a

 

 

 

 

 

 

1

 

U

 

U.z/r 0.z/

U.za/r 0.za/ D

 

 

 

 

 

r .z/dz:

 

4

 

 

U.z/

z

Чтобы проинтегрировать еще один раз, следует решить уравнение относительно r 0.z/:

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

U 00.z/

 

 

 

U.za/

 

1

1

 

 

r 0

.z/ D

p

 

r 0.za/

4

 

 

 

 

 

 

r .z/dz:

U.z/

U.z/

 

a

U.z/

 

 

p

 

 

p

z

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фокусные расстояния определяют по траекториям, параллельным оси. Предположим,

что

r 0.za/ D 0:

Тогда в случае тонкой линзы в ее электрическом поле расстояние траектории от оси остается постоянным, а меняется лишь угол выхода. Поэтому всюду, где U 00.z/ ¤ 0, выполняется условие

r .z/ r .za/ r .zb /:

Отсюда в точке выхода из поля угол наклона определяется равенством

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

1

 

r .za/

 

zb

U 00.z/

r 0.zb / D

4

 

 

 

 

 

 

 

dz:

 

U.zb /

 

a

U.z/

 

 

 

p

z

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 30. Схема, поясняющая метод определения фокусного расстояния.

Наконец, фокусное расстояние, как это следует из рис. 30, выражается в виде

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

1

 

r 0.zb /

1

1

 

zb

U 00

.z/

 

 

D

 

D 4

 

p

 

 

a

p

 

 

 

 

fb

r .za/

 

 

 

U.z/ dz;

(48)

 

U.zb /

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50

где точкам za и zb соответствуют, по нашему предположению, точки начала и конца воздействия поля. Всюду вне области, ограниченной этими значениями, электрическое поле отсутствует. Поэтому пределы интегрирования можно изменить следующим образом:

1

 

1

 

 

1

1

U

00.z/

 

D

 

 

 

 

 

 

 

p

 

1

p

 

 

 

 

 

 

 

U.z/ dz:

 

fb

4

 

 

U.zb /

Z

 

(49)

Рис. 31. Расстояние от объекта и изображения до главной плоскости и фокусное расстояние в оптике и электронной оптике.

Необходимо сразу отметить, что фокусное расстояние для пучка, приходящего справа, имеет другое значение, так как в формулу входит U.za/, причем в общем U.za/ ¤ U.zb /. Отношение двух фокусных расстояний можно записать в виде

fa

p

U.za/

 

 

 

 

 

 

fb

D pU.zb /

:

(50)

Расстояния до объекта и изображения связаны формулой, идентичной оптической формуле:

fa

fb

 

 

 

C

 

D 1:

(51)

a

b

Если fa D fb D f , то получаем хорошо известное выражение

a1 C b1 D f1 :

Построение изображения проиллюстрировано на рис. 31, 32.

Рис. 32. Построение изображения.

51

8.2Тонкие магнитные линзы

Как уже упоминалось, для получения соотношений, количественно описывающих магнитные линзы (рис. 33), целесообразно использовать уравнения движения. Для описания положения частицы выберем цилиндрические координаты r; ; z и запишем уравнение

 

 

 

 

d 2R

 

 

 

 

 

 

 

 

m

E

 

 

eŒv B

 

(52)

 

 

 

 

dt 2 D

 

 

 

 

 

 

 

 

E E

 

 

в компонентах, соответствующих r; ; и z:

 

 

 

 

8

m.r r '2

/

 

ev' Bz

 

 

 

 

R P

 

D

 

1 d I

2

'/P D e.Bz vr

Br vz /I

(53)

ˆm.r 'R C 2rP'/P D m r dt .r

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

ˆ

:mzR D ev' Br :

Рис. 33. Магнитная линза. 1 — фокусирующее поле.

Правые части уравнения получаются на основании правил векторного умножения. При этом следует учитывать, что в силу конструкции линз магнитные силовые линии все проходят в плоскости меридианы, так что B' D 0. Отдельные компоненты скорости выражаются формулами

vr D

dr

I

vz D

dz

I

v' D r

d'

:

 

 

 

dt

dt

dt

Величины Br и Bz , входящие в уравнения, не являются не зависящими друг от друга,

так как E не имеет источников и, следовательно, удовлетворяет уравнению

B

div

E

D

0:

(54)

 

B

 

Из этого уравнения, записанного в цилиндрических координатах, получаем связь между Br и Bz :

1 @

.rBr / C

@Bz

D 0:

(55)

 

 

 

 

r @r

@z

Разложим функцию

Bz D Bz .z; r /

в ряд по степеням r . Если ограничиться областью, непосредственно прилегающей к оси, то степенной ряд можно оборвать на члене, содержащем r в квадрате

Bz .z; r / D Bz0.z/ C r 2G.z/:

(56)

Линейный член выпадает вследствие вращательной симметрии, B0

.z/ выражает из-

z

 

менение магнитной индукции вдоль оси, а G.z/ в дальнейшем изложении не встречающаяся функция, которую можно определить с помощью разложения в ряд. Используя разложение в ряд, перепишем уравнение (55):

1 @

.rB

/

D

@Bz

D

B0

.z/ r 2G0.z/;

 

 

 

 

r @r

@z

r

 

z

 

52

т. е

 

 

 

 

 

 

@

.rB

/

D

rB00

.z/ r 3G0.z/:

(57)

 

@r

 

r

 

z

 

 

Пренебрегая членом, содержащим третью степень r и производя интегрирование по

r , находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2

 

 

0

 

 

rBr D

 

 

Bz0

 

.z/;

 

2

 

 

 

r

0

 

 

 

 

Br D

 

Bz0

 

.z/:

(58)

2

 

Если значение Br подставить в правую часть второго уравнения, группы уравнений

(53), то получим выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

r dz

0

 

1 d

 

e Bz0

 

C

 

 

 

Bz0

 

D e

 

 

 

.r 2Bz0/:

dt

2

dt

2r dt

Здесь вместо Bz .z; r / подставлен лишь первый член разложения, причем в обоих слагаемых учитывались лишь члены, содержащие r в первой степени.

Теперь второе уравнение можно переписать:

 

 

1 d

 

 

 

 

1 d

 

 

m

 

 

 

.r 2'/P

D e

 

 

 

.r 2Bz0/:

(59)

r

dt

2r

dt

Интегрирование по времени приводит к простому выражению

 

 

 

 

 

 

1 e

 

 

 

 

 

 

'P D

 

 

 

Bz0.z/:

(60)

 

 

 

 

2

m

Третье уравнение системы (53) также можно упростить. Как видно из уравнения (58), первая степень r встречается в разложении Bz в ряд; применение соотношения v' D r 'P вводит в правую часть уравнения множитель r 2, так что в рамках используемого приближения правой частью можно пренебречь. Для последующих рассуждений можно теперь использовать уравнения (53) в упрощенном виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

rR r 'P2 D

 

 

 

 

r 'PBz0.z/I

 

 

m

 

 

 

 

 

'P D

 

 

1 e

 

 

Bz0.z/I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

m

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2z

 

 

D 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

dt 2

 

 

 

Сравнение двух первых уравнений дает:

 

 

 

 

 

 

r D 0:

 

 

rR C m

 

 

 

 

 

z

4

 

 

 

 

 

 

e

 

2 B0

2.z/

 

Используем для rR известную форму записи

 

 

d

 

d dz

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

D

 

 

 

D vz

 

;

vz CONST:

dt

dz

dt

dz

Тогда можно написать

(61)

(62)

(63)

(64)

d 2r

C

e

 

2 B02.z/

 

 

vz2

 

 

 

z

 

r D 0:

(65)

dz2

m

 

 

4

53

Так как согласно (63) vz является величиной постоянной, выражаемой формулой

vz2 D 2 me U;

то предыдущее уравнение принимает вид

d 2r

 

e B02

.z/

 

 

 

C

 

 

z

 

r D 0:

(66)

dz2

m

 

8U

это основное уравнение магнитной линзы. Если линза тонкая, то интегрирование не вызывает затруднений. Величина r может рассматриваться как постоянная всюду, где поле существует, так что интегрирование по z приводит к выражению

 

 

 

Za

 

 

 

 

e r

zb

 

 

r 0

D

m 8U

B02

.z/dz:

(67)

 

z

 

 

z

Отсюда для фокусного расстояния получаем:

 

 

r 0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

D

D

e 1

Z

Bz0

2

.z/dz:

(68)

f

r

m

 

8U

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Магнитная линза дает искаженное изображение. Величина искажения рассчитывается с помощью уравнений (6163). Выражение (62) можно переписать в форме

 

d'

 

d' dz

d'

 

d' 2e

'P D

 

D

 

 

 

D

 

vz D

 

r

 

U :

dt

dz

dt

dz

dz

m

Таким образом величину искажения можно рассчитать по формуле

 

 

zb

 

 

 

 

 

 

1

 

Z

1

r

e

 

Z

'a 'b D

 

d'

 

Bz0.z/dz:

 

 

dz

dz D

 

2

2mU

 

 

z

a

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя известную формулу

Bz0

D 0

N I R2

 

 

 

;

2

.z2 C R2/3=2

получим для тонких кольцевых катушек выражение для определения фокусного расстояния

1

 

e

1

 

2

 

2R4N 2I 2e

1

dz

 

D

 

Z

Bz0

 

.z/dz D

0

Z

 

dz D

f

8mU

 

32mU

.z2 C R2/3

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

D3 20 e N 2I 2 : 256 mU R

54

8.3Толстые линзы

Анализ основного уравнения (46)

d 2r

 

U00 .z/ dr

 

U000.z/

 

C

 

 

 

C

 

r D 0;

dz2

2U0.z/ dz

4U0.z/

показывает, что оно справедливо и для толстых, и для тонких линз. До сих пор единственным условием было условие, что траектории электронов должны быть параксиальными. Исследуем теперь, какие общие выводы могут быть сделаны для случая толстых линз.

Прежде всего ясно, что здесь мы имеем дело с линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Таким образом, если r1.z/ и r2.z/ являются независимыми решениями уравнения, то каждая их линейная комбинация r .z/ вида

r .z/ D ar1.z/ C b r2.z/

также является решением. Далее можно установить, что дифференциальное уравнение относительно U0.z/ является однородным. Так, если напряжение всюду увеличивается в k раз, то это вообще не вызывает изменения траекторий электронов.

Уже было ранее установлено и здесь мы лишь повторим, что в случае нерелятивистской задачи параметры частицы не входят в дифференциальное уравнение для электрических полей.

Рис. 34. Главные плоскости толстой электростатической линзы. Положение главных плоскостей задается расстояниями, измеренными от центра диафрагмы.

Если электронную траекторию, идущую со стороны объекта слева от линзы параллельно оси линзы и пересекающую ось справа в определенной точке, обозначить r2.z/, то без каких-либо пояснений можно утверждать, что решению c r2.z/ подчиняются все лучи, параллельные в левой части оси. Очевидно, что все решения в одной и той же точке принимают значения, равные нулю, т.е. пересекают ось в одной точке. Если имеем один луч, идущий со стороны предмета параллельно оси и пересекающий ось в точке, лежащей на стороне изображения, то в той же самой точке пересекут ось все лучи, параллельные рассматриваемому, т.е. мы получим фокус.

Ход луча внутри толстой линзы очень сложен. Однако для описания оптических свойств достаточно определить положение главных плоскостей. Главные плоскости получают следующим образом: строят продолжение прямолинейного отрезка, получающегося на стороне изображения, в область, где не действуют силы, до его пересечения с продолжением горизонтального отрезка, расположенного по одну сторону с объектом. Существование подобной главной плоскости, где получаемые указанным способом точки

55

пересечения лежат на одной вертикали, вытекает из факта, что форма всех рассматриваемых траекторий определяется выражением c r2.z/. Параллельные лучи, идущие со стороны изображения, образуют фокус на стороне объекта. Эти лучи позволяют определить положение главной плоскости на стороне объекта (рис. 34).

Приведенные выше определения были даны в предположении, что по крайней мере один луч после прохождения линзы пересекает ось симметрии. После незначительного преобразования основного уравнения (46) можно сделать очень интересное общее заключение. Это уравнение можно переписать в форме

 

 

 

 

d 2

 

 

 

 

 

3

 

U00

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r pU0 C

 

 

 

 

 

r pU0

D 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

dz2

16

U0

 

 

 

 

В результате интегрирования получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

p

ˇ

 

d

p

 

ˇ

 

 

 

3

 

z2

 

 

U00

 

2

p

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

4

 

ˇ

 

4

 

 

 

 

ˇ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

dz

r U0

ˇ 2

dz

r U0

ˇ

1

D

 

16

 

 

 

 

 

U0

 

 

r U0dz:

 

 

 

 

ˇ

 

 

 

 

 

 

 

 

ˇ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пределы интегрирования выбраны так, чтобы напряженность поля вне этих пределов была равна нулю, т.е. U 0 D 0. Правая часть уравнения всегда отрицательна, так как подынтегральное выражение в правой части всегда положительно (исходим из положительности r , принимая, что внутри поля r не становится отрицательным, ведь при пересечении оси сразу же получают фокус), таким образом,

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

4

U0

ˇ

2

r 4

U0 ˇ

1 < 0:

 

dz

 

dz

 

 

 

 

 

p

 

 

ˇ

 

 

 

 

 

 

p

 

 

ˇ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˇ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˇ

 

 

Но так как

 

 

 

 

 

 

ˇ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˇ

 

 

 

 

d

 

r

4

 

 

 

 

dr 4

 

 

 

 

 

 

U00

:

 

 

 

U0

 

U0

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

D dz p

C

4U03=4

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

Эта величина для всех электронов, приходящих параллельно со стороны изображения, равна нулю в точке z D z1, так как в этой точке r 0 и U00 .z/ также равны нулю. Из уравнения, таким образом, следует:

 

d

p

 

ˇ

 

 

 

 

 

ˇ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

r 4

U0

ˇ

2

< 0;

 

 

 

 

ˇ

 

 

что в силу соотношения U0.z2/ D 0 ведет к неравенству

ˇ

dr ˇ

ˇ < 0: dz ˇ 2

Это означает для электрона, проходящего через любое осесимметричное поле при условии, что он влетает в него из пространства, где поле отсутствует, лежащего с одной стороны линзы, а потом попадает в такое же пространство, лежащее с другой стороны линзы, что его траектория, вначале параллельная оси, все время отклоняется к оси.

Подобные поля действуют как система собирающих линз.

Чтобы написать уравнение для толстых линз, пригодное и для описания толстых оптических линз, рассмотрим три электронные траектории, изображенные на рис. 35. Пусть одна траектория со стороны предмета идет параллельно оси, так что соответствующий ей фокус лежит на стороне изображения, вторая траектория подобным же

56

Рис. 35. Схема, поясняющая вывод формулы линзы.

образом дает фокус на стороне объекта, третья дает изображение точки оси в виде точки, лежащей на оси с другой стороны. Ищем связь между фокусными расстояниями fa и fb и расстояниями до объекта и изображения (a и b). Простые соотношения получаются в случае, когда отдельные расстояния измеряются относительно соответствующих главных плоскостей, как это показано на рис. 35. Пусть r1.z/ и r2.z/ — два независимых решения, так что можно образовать их линейную комбинацию:

r3.z/ D ˛r1.z/ C ˇr2.z/:

Постоянные ˛ и ˇ должны выражаться через интересующие нас расстояния. Так как для точки, являющейся объектом, справедливо

r3.za/ D 0 D ˛r1.za/ C ˇr2.za/ D

˛

a

fa

C ˇ;

 

 

 

fa

а для точки-изображения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

fb

 

 

 

 

 

 

r3.zb / D

0 D ˛ ˇ

 

 

 

 

;

 

 

 

 

fb

 

 

 

 

то можно написать для двух неизвестных два уравнения

 

 

 

 

 

 

fa

 

 

˛

 

 

 

fb

 

ˇ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

I

 

D

 

 

 

;

 

 

 

a

˛

C

ˇ

b

˛

C

ˇ

 

 

что в конечном виде дает:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fa

 

fb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

D 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 36. Схема, поясняющая расчет увеличения.

Если линза симметрична, то формула упрощается:

a1 C b1 D f1 :

На рис. 36 показано построение изображения. При помощи этого построения можно найти увеличение линзы. Очевидно, что

B

D

b fb

D

fa b

:

A

fb

fb

 

a

57

8.4Роль пространственного заряда

До сих пор мы рассматривали движение отдельного электрона в электрическом и магнитном полях. Влияние всех остальных электронов пучка на это движение не учитывалось. Подобное пренебрежение допустимо лишь до тех пор, пока это взаимодействие невелико. Пои увеличении плотности тока пространственный заряд, образуемый электронами, становится настолько большим, что он уже может влиять на движение электронов. Понятно, что точный учет такого влияния затруднителен, так что обычно водятся значительные упрощения. Ниже приводится простой случай, при рассмотрении которого использованы обычные упрощающие предположения.

Рис. 37. Силы, действующие на электрон, находящийся на поверхности электронного пучкаю

Пусть цилиндрический электронный пучок с равномерно распределенной плотностью, ускоренный напряжением UA, движется в некоторой области пространства, имеющей радиус r , и пусть полный ток равен I (рис. 37). Ищем изменение траектории электрона в радиальном направлении, вызываемое влиянием пространственного заряда, распределенного в данном цилиндрическом объеме, если рассматриваемый электрон движется по поверхности цилиндра параллельно его оси. Величина заряда сразу нахо-

дится из уравнения

I D jvE0jA D jvE0j r 2;

откуда

I

D jvE0j r 2 :

Радиальная напряженность поля на поверхности цилиндра, внутри которого находится заряд, распределенный с постоянной плотностью, выражается в виде

 

q 1 r 1

I

 

I

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Er D 2 "0 r D 2 "0 r D 2"0 r D

j E j

D

2 "0r

 

 

 

 

r :

 

m UA

 

2 "0r v0

 

 

2e

 

Напряженность магнитного поля задается формулой

I

H D 2 r :

Радиальные силы, действующие на электрон, равны:

e

I 1

 

0I

D

eI

1

v02

:

 

 

 

e

 

v0

 

 

 

2 "0v0 r

2 r

2 "0v0r

 

c2

Формула показывает, что в случае нерелятивистского приближения влияние сил магнитного поля можно совершенно не учитывать Кроме того, можно добавить, что при очень высоких скоростях сила Лоренца практически равна нулю.

58

В нерелятивистском случае, таким образом, уравнение движения записывается в виде

 

d 2r

 

D

e

 

 

 

 

I

 

 

 

 

1 1

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt2

m

p

 

 

 

r 2 "0

Поскольку

 

.2e=m/UA

 

 

 

d 2r

 

 

d 2r dz

 

2

 

dr d 2z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

C

 

 

;

 

dt2

 

dz2

dt

 

dz

dt 2

а vz может рассматриваться как величина постоянная и, следовательно, d 2z=dt 2 D 0, уравнение движения может быть представлено в виде

d 2r

 

e

 

 

I

d 2r

 

 

 

I

v02

 

D

 

 

 

 

I

 

D

 

 

 

 

 

I

dz2

m

2 "0r p

 

dz2

4p

 

"0r p

 

UA3=2

 

.2e=m/UA

 

2

.e=m/

Если обе части этого уравнения умножить на 2.dr=dz/, то его легко проинтегрировать:

d

dr

 

2

 

d

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D K2

 

log r I

 

D Kplog r=r0:

dz

dz

 

dz

dz

Здесь r0 — значение радиуса, при котором dr=dz D 0. Величина K2 выражается

формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K2

D

 

 

 

 

1

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 "0 .2e=m/U 3=2

 

 

 

 

виду

 

Преобразуем предыдущее уравнение кp

 

 

 

 

 

 

 

dr

D Kdz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

log r=r0

 

p

и проинтегрируем, введя новую переменную x D log r=r0:

x

K z

D Z0

ex 2dx:

2 r0

Значения функции, стоящей в правой части равенства, могут быть определены по таблице, с помощью которой можно построить так называемые универсальные кривые расширения пучка (рис. 38).

Устранению влияния пространственного заряда в настоящее время придается все большее значение, так как пучки в различных микроволновых усилителях и генераторах, а также в аппаратуре, применяемой в электронной технологии, обладают очень высокой плотностью тока, так что можно ожидать появления значительных эффектов. Возможность для устранения этих эффектов заключена в придании катоду и аноду такой формы, чтобы на поверхности пучка возникало электрическое поле одинаковой величины, но противоположное по направлению радиальной компоненты, вызывающей расширение пучка (рис. 39). В случае малых сил тока это достигается применением однородного магнитного поля. Если сила тока увеличивается, то необходимо использовать периодическое фокусирование. В подобных случаях сильно сфокусированный, а затем снова расширяющийся под влиянием пространственного заряда пучок в конечном итоге в среднем имеет некоторое заданное сечение (рис. 40)

59

Рис. 38. Универсальная кривая, определяющая расходимость электронного пучка. Величина, определяемая уравнением P D I =U 3=2, называется первеанс.

Рис. 39. Схема пушки Пирса: 2600 В, 40 10 3 А,

Рис. 40. Периодическая магнитная фоку-

сировка.

K — катод, A — анод.

 

8.5Практическая электронная оптика

Кважнейшим задачам электронной оптики относится получение остро сфокусированных электронных пучков либо малой силы тока, например в электронно луче-

вых трубках, либо достаточно сильноточных — в микроволновых генераторах, а также в устройствах, применяемых в электронной технологии. Описанные ранее линзы могут быть применены также для конструирования электронного микроскопа, использующего вместо световых электронные лучи.

Электронный микроскоп имеет множество недостатков. Для его эксплуатации необходимо стабильное высокое напряжение или сила тока и глубокий вакуум. Исследуемый объект также должен размещаться в вакууме. Это усложняет исследование живых существ, например бактерий. Обслуживание прибора требует высокой квалификации. Все устройство занимает большую площадь, является громоздким и дорогостоящим.

Преимущество электронного микроскопа заключается в его очень высокой разрешающей способности, которая не может быть достигнута в световых микроскопах. Увеличение, которое может быть получено с помощью света, ограничено длинами волн, испытывающих дифракцию на объективе. В результате дифракции изображение точки выглядит как система чередующихся темных и светлых концентрических колец. Если исследовать две близко лежащие точки, то дифракционные картины накладываются друг на друга. Обе картины можно еще хорошо различить, когда максимум одного изображения совпадает с минимумом другого. На основании этого Аббе получил соотношение

для наименьшего расстояния, при котором еще возможно разрешение

 

 

 

 

d D 0:61

 

;

(69)

n sin ˛

где — длина волны света; n — показатель преломления; ˛ — наибольший угол, который образует луч, идущий от объектива к линзе, с осью. Знаменатель представляет собой чис-

60