Оцінка тісноти та значимості зв’язку між змінними моделі

Тісноту зв'язку між залежною змінною Y та незалежною змінною X оцінюють за допомогою статистичних характеристик: коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції. За допомогою цих коефіцієнтів перевіряється відповідність побудованої регресійної моделі (теоретичної) фактичним даним. Значимість зв'язку визначається за допомогою F-критерію Фішера.

Коефіцієнт детермінації

Розраховується за формулою:

(6.1)

Скоригований коефіцієнт детермінації:

Скоригований коефіцієнт детермінації не перевищує одиниці

Справедлива нерівність:

0,864< 0,883

коефіцієнт кореляції (індекс кореляції)

Дає кількісну оцінку зв’язку між двома показниками і розраховується за такою формулою:

(6.2)

Іноді для спрощення розрахунків тісноту кореляційного зв'язку характеризують коефіцієнтом кореляції, який розраховується за формулою:

(6.3)

F-критерій Фішера

Тестування значимості змінної Х, або адекватності моделі проводиться за критерієм Фішера.

(6.4)

Розрахунковий критерій Фішера з урахуванням ступенів вільності обчислюємо за формулою:

(6.5)

де m, (n–m–1) – число ступенів вільності відповідно чисельника та знаменника залежності;

n – кількість спостережень;

m – кількість незалежних змінних.

F_розр= 8,58

F^0,05_табл визначаємо за допомогою статистичної функції FРАСПОБР(0,05;6;7) для рівня надійності a=0,05 і ступенів вільності відповідно f₁ = (n–m–1) = 8–1–1=6 та f₂ = (n–1)= 8–1=7:

F^0,05_табл = 3,87

F_розр > F^0,05_табл , робимо висновок про адекватність побудованої моделі – припускаємо присутність лінійного зв'язку.

Оцінка точності моделі

Визначаємо стандартні похибки оцінок параметрів моделі з урахуванням дисперсії залишків:

(6.6)

де – дисперсія залишків:

(6.7)

– елемент матриці похибок С (матриця, обернена до матриці коефіцієнтів системи нормальних рівнянь);

т₁ – кількість параметрів моделі.

	<	319,44
	<	20,45

Порівняємо стандартні похибки оцінки з величиною оцінки: .

319,44*100 = 20,1%

20,45*100 = 14,83%

Визначається також середньоквадратичне відхилення (похибка)

(6.8)

Відносна похибка

(6.9)

Перевірка значущості та довірчі інтервали

Перевірка значущості коефіцієнта детермінації

Для перевірки статистичної значущості коефіцієнта детермінації R² висувається нульова гіпотеза

H₀: R²=0.

H₀ : b₁ = b₂ = ... = b_n = 0.

Альтернативною до неї є

Н_А: b_j ≠ 0

Для перевірки цих обчислюють експериментальне значення F-статистики:

(6.10)

F^0.05_табл = 3,87

F_експ > F^0.05_табл

Нульова гіпотеза відхиляється, тобто існує такий ко­ефіцієнт у регресійному рівнянні, який суттєво відрізняється від нуля, а відповідний фактор виливає на досліджувану змінну. Відхи­лення нуль-гіпотези свідчить про адекватність побудованої моделі.

Перевірка значущості коефіцієнта кореляції

Коефіцієнт кореляції перевіряєть­ся на значущість за допомогою t-критерію Ст’юдента. Фактичне зна­чення t-статистики обчислюється за формулою

(6.11)

t_табл. = 2,45

|t_експ|>t_табл,

Можна зробити висновок, що коефіцієнт кореляції достовірний (значущий), а зв'язок між залежною змінною та всіма незалежними фак­торами суттєвий.

Оцінка статистичної значущості параметрів моделі

Статистичну значущість кожного параметра моделі можна пере­вірити за допомогою t-критерію. При цьому нульова гіпотеза має вигляд

Н₀ : b_j = 0,

альтернативна

Н_А : b_j ≠ 0.

Експериментальне значення t-статистики для кожного параметра моделі обчислюється за формулою

(6.12)

де С_jj – діагональний елемент матриці (Х′Х)^–1 ;

– стандартна похибка оцінки параметра моделі:

(6.13)

t1 = 6,74;

t0 = 4,98

tтабл =

2,45

|t_експ|>t_табл,

Значення t-статистики потрапляє до критичної області (за абсолютним значенням пере­вищує t_табл), приймається альтернативна гіпотеза про значущість параметрів.

Знайдемо інтервали надійності для кожного окремого параметра за формулою:

Оскільки оцінки параметрів моделі β_j*, t_спос і стандартні похибки параметрів моделі обчислені нами у попередніх пунктах, достатньо просто скористатися формулою для знаходження інтервалів:

= 319,44 - 2,4469 * 64,2 < 0 < 319,44 + 2,4469 * 64,2

= 20,45 - 2,4469 * 3,03 < 1 < 20,45 + 2,4469 * 3,03

P (0162,34  ₀  476,54) = 0,95

P (13,03 ₁  27,87) = 0,95

Розрахуємо коефіцієнт еластичності за формулою:

Коефіцієнт еластичності говорить про те, що збільшення витрат на впровадження інновацій на 1% , збільшить об’єм реалізації на 0,566%.

Зобразимо побудовану кореляційно-регресійну модель на графіку (рис.6.1).

Рис. 6.1. Кореляційно-регресійна модель