Тема № 4. Методи вирішення транспортної задачі та її моделі Лабораторна робота № 4 «Оптимізація витрат на перевезення вантажу»

На практиці при перевезенні вантажів може виникнути одна з трьох ситуацій.

І.

Метою транспортної задачі є таке планування перевезень вантажу від постачальників до споживачів, щоб забезпечити мінімальні транспортні витрати.

Введемо позначення:

х_ij – змінні, які підлягають розшуку та виражають кількість вантажу, який перевозиться від і-го постачальника до j-го споживача (і=1...m, j=1...n);

с_ij – вартість перевезення одиниці вантажу від i-го постачальника до j-го споживача;

а_i – кількість одиниць вантажу у і-го постачальника;

b_j – кількість одиниць вантажу, яка потрібна j-му споживачу.

Транспортна задача може бути сформульована як частковий випадок задачі лінійного програмування і вирішена симплекс-методом.

Кількість одиниць вантажу у постачальників відповідає попиту з боку споживачів, що відображається в умові балансу

. (4.1)

Така економіко-математична модель транспортної задачі називається закритою та з урахуванням умови (8.1) вона має вид:

; (4.2)

(4.3)

. (4.4)

Дана транспортна задача є збалансованою.

У наведених виразах формула (4.2) відповідає цільовій функції з мінімізації транспортних витрат. Формули (4.3) є обмеженнями задачі:

перша формула характеризує те, що весь вантаж від постачальників має бути вивезеним;

друга формула відтворює той факт, що попит споживачів задоволений.

Формула (4.4) є умовою невід'ємності змінних.

ІІ.

Кількість вантажу у постачальників більше попиту у ньому з боку споживачів:

(4.5)

Це означатиме, що частина вантажу у постачальників залишиться, а споживачі отримають весь потрібний їм вантаж. Тому знак у першому обмеженню (4.3) зміниться з "=" на "≥". Інші формули розглянутої моделі (4.2)–(4.4) залишаться такими ж.

ІІІ.

Кількість вантажу у постачальників менше попиту в ньому у споживачів:

(4.6)

Це означатиме, що кожен постачальник увесь свій вантаж вивезе, а частина споживачів отримає вантажу менше відповідної кількості. Тому друге обмеження у формулах (4.3) буде мати знак "≤". Інші формули моделі (4.2)–(4.4) залишаться без зміни.

Економіко-математичні моделі у ситуаціях II і III називаються відкритими, а самі задачі – незбалансованими.

У всіх трьох розглянутих моделях кількість основних змінних складає m´n, а кількість обмежень – (m+n).

Найбільш простою, яка часто використовується, є закрита модель (4.2)–(4.4). З особливостями реалізації відкритих моделей можна познайомитися у спеціальній літературі.

1. Постановка транспортної задачі

Визначити, чи є дана транспортна задача збалансованою або незбалансованою.

Знайти оптимальний розв'язок транспортної задачі, якщо задані витрати на перевезення одиниці вантажу від постачальників А₁, А₂, А₃, А₄, А₅ до споживачів В₁,В₂, В₃, В₄, В₅.

Витрати на перевезення одиниці вантажу, запаси постачальників і потреби споживачів визначаються за даними додатку 13.

2. Приклад рішення транспортної задачі за допомогою електронних таблиць

Задача. В Київський області 3 цукрових заводи (В) отримують від 5 сільськогосподарських підприємств (А) сировину. Скласти такий план перевезень від постачальників до споживачів, щоб вартість перевезень була мінімальною, вантаж від постачальників був вивезеним, а потреби заводів у сировині були задоволені (табл. 4.2).

Таблиця 4.2