Побудова мінімальної послідовності поворотів посилок

На рис. 5.16 наведено можливі позиції розташування міток на посилках (показані позиції міток на передній, верхній і правій гранях паралелепіпеда).

Z

X

Y

Рисунок 5.16 – Можливі позиції розташування міток на посилках

Позиції розташування міток позначені двома цифрами.

Перша цифра вказує номер грані:

1 – передня,

2 – верхня,

3 – задня,

4 – нижня,

5 – ліва,

6 – права.

Друга цифра вказує номер позиції на грані:

1 – нижня ліва,

2 – верхня ліва,

3 – верхня права,

4 – нижня права.

На рис. 5.17 наведено граф G ( 24, 72 ), який відповідає будь-яким можливим поворотам посилки при розташуванні міток на позиціях рис. 5.16.

Ребра графа відповідають поворотам - Х, Х, -Y, Y, -Z, Z на  90 навколо осей координат Х, Y, Z (повороти Х, Y, Z на + 90 за стрілкою годинника, повороти -Х, -Y, -Z на - 90 проти стрілки годинника).

У табл. 5.14 наведено матрицю переходів між позиціями посилки при її повороті на  90 навколо осей координат Х, Y, Z.

Таблиця 5.14 – Матриця переходів між позиціями посилки

Первинна позиція	Наступна позиція
	- Х	Х	-Y	Y	-Z	Z
11	41	21	14	12	61	51
12	42	22	11	13	62	52
13	43	23	12	14	63	53
14	44	24	13	11	64	54
21	11	31	54	62	24	22
22	12	32	51	63	21	23
23	13	33	52	64	22	24
24	14	34	53	61	23	21
31	21	41	32	34	53	63
32	22	42	33	31	54	64
33	23	43	34	32	51	61
34	24	44	31	33	52	62
41	31	11	64	52	42	44
42	32	12	61	53	43	41
43	33	13	62	54	44	42
44	34	14	63	51	41	43
51	52	54	44	22	11	33
52	53	51	41	23	12	34
53	54	52	42	24	13	31
54	51	53	43	21	14	32
61	64	62	24	42	33	11
62	61	63	21	43	34	12
63	62	64	22	44	31	13
64	63	61	23	41	32	14

23 32 34 43 53 63

13 22 24 31 33 42 44 52 54 62 64

12 14 21 41 51 61

11

Рисунок 5.17 – Граф можливих поворотів посилки

Будемо вважати позицію 11 позицією зчитування ПІ, отже, при початковому розташуванні міток на інших позиціях вони повинні бути переведені на позицію 11.

Для аналізу можливих послідовностей переходу від довільних позицій до позиції 11 на другому етапі зручно користуватися рельєфом графа рис. 5.17, в якому кожній вершині графа надана вага відносно вершини 11.

Рельєф графа наведений у табл. 5.15.

Таблиця 5.15 – Рельєф графа посилки

Вага поточної вершини	Поточна вершина	Чергова вершина
		- Х	Х	-Y	Y	-Z	Z
3	23	13	33	52	64	22	24
3	32	22	42	33	31	54	64
3	34	24	44	31	33	52	62
3	43	33	13	62	54	44	42
3	53	54	52	42	24	13	31
3	63	62	64	22	44	31	13
2	13			12	14
2	22	12		51		21
2	24	14			61		21
2	31	21	41
2	33					51	61
2	42		12	61			41
2	44		14		51	41
2	52		51	41		12
2	54	51			21	14
2	62	61		21			12
2	64		61		41		14
1	12			11
1	14				11
1	21	11
1	41		11
1	51					11
1	61						11
0	11

З рис. 5.17 і табл. 5.15 випливає, що з позицій 12, 14, 21, 41, 51, 61 можна здійснити перехід до позиції 11 за один поворот посилки; з позицій 13, 22, 24, 31, 33, 42, 44, 52, 54, 62, 64 – за два повороти посилки; з позицій 23, 32, 34, 43, 53, 63 – за три повороти посилки, отже мінімальне значення середньої кількості поворотів посилки, яку можна досягти при розміщенні 24 пристроїв для пошуку міток на всіх 24 позиціях складає

N_c = (1·0 + 6·1 + 11·2 + 6·3) / 24 = 46 / 24 = 1,92.

Найкоротший шлях від довільної вершини графа до кінцевої вершини 11 створюється як перелік з’єднаних вершин, вага яких послідовно зменшується на одиницю.

Наприклад, найкоротший шлях від вершини 23 (вага 3) до вершини 11 (вага 0) може бути сформований наступним чином:

• від вершини 23 (вага 3) можливі переходи до вершин 13 (-Х), 33 (Х), 52 (-Y), 64 (Y), 22 (-Z), 24 (Z) (вага 2); обираємо 24 (Z);

• від вершини 24 (вага 2) можливі переходи до вершин 14 (-Х), 41 (Х) (вага 1); обираємо 14 (-Х);

• від вершини 14 (вага 1) можливий перехід лише до вершини 11 (Y) (вага 0).

Таким чином, можливий найкоротший шлях від вершини 23 до вершини 11 має вид: 23, 24, 14, 11 (Z, -Х, Y).

З рис. 5.16 і табл. 5.14 можна також побудувати повні переліки послідовностей поворотів від довільних позицій до позиції 11.

Так, повний перелік містить 16 послідовностей поворотів від позиції 23 до позиції 11:

23 – 13 – 12 – 11 (повороти -X, -Y, -Y );

23 – 13 – 14 – 11 (повороти -X, Y, Y );

23 – 22 – 12 – 11 (повороти -Z, -X -Y );

23 – 22 – 21 – 11 (повороти -Z, -Z, -X );

23 – 22 – 51 – 11 (повороти -Z, -Y, -Z );

23 – 24 – 14 – 11 (повороти Z, -X, Y );

23 – 24 – 21 – 11 (повороти Z, Z, -X );

23 – 24 – 61 – 11 (повороти Z, Y, Z );

23 – 33 – 51 – 11 (повороти X, -Z, -Z );

23 – 33 – 61 – 11 (повороти X, Z , Z );

23 – 52 – 12 – 11 (повороти -Y, -Z , -Y );

23 – 52 – 41 – 11 (повороти -Y, -Y, X );

23 – 52 – 51 – 11 (повороти -Y, X , -Z );

23 – 64 – 14 – 11 (повороти Y, Z, Y );

23 – 64 – 41 – 11 (повороти Y, Y, X );

23 – 64 – 61 – 11 (повороти Y, X, Z ).

При технічній реалізації кантовки посилок поворот навколо будь-якої осі може виявитися небажаним або утрудненим. У такому разі з рельєфу графа виключаються зв’язки, що відповідають забороненим поворотам.

У табл. 5.16 наведено рельєф графа за умов заборони поворотів посилки навколо осі Z.

Таблиця 5.16 – Рельєф графа посилки за умов заборони поворотів навколо осі Z

Вага поточної вершини	Поточна вершина	Чергова вершина
		- Х	Х	-Y	Y
1	2	3	4	5	6
4	33	23	43	34	32
3	23	13		52	64
3	32	22	42		31
3	34	24	44	31
3	43		13	62	54
3	51	52	54	44	22
3	53	54	52	42	24
3	61	64	62	24	42
3	63	62	64	22	44
2	13			12	14
2	22	12
2	24	14
2	31	21	41
2	42		12

Таблиця 5.16 (закінчення)

1	2	3	4	5	6
2	44		14
2	52			41
2	54				21
2	62			21
2	64				41
1	12			11
1	14				11
1	21	11
1	41		11
0	11

За умов заборони поворотів посилки навколо осі Z найкоротший шлях від вершини 23 (вага 3) до вершини 11 (вага 0) може бути сформований наступним чином:

• від вершини 23 (вага 3) можливі переходи до вершин 13 (-Х), 52 (-Y), 64 (Y) (вага 2); обираємо 64 (Y);

• від вершини 64 (вага 2) можливий перехід лише до вершини 41 (Y) (вага 1);

• від вершини 41 (вага 1) можливий перехід лише до вершини 11 (Х) (вага 0).

Таким чином, можливий найкоротший шлях від вершини 23 до вершини 11 за умов заборони поворотів посилки навколо осі Z має вид: 23, 64, 41, 11 (Y, Y, Х).

Нижче наведені приклади послідовностей поворотів посилки, за яких забезпечується мінімізація середньої кількості поворотів посилки на першому та другому етапах за умов різних значень кількості пристроїв для пошуку міток.

k= 1:

11, 12, 22, 21, 31, 32, 42, 41, 52, 53, 54, 51, 44, 43, 33, 34, 24, 23, 13, 14, 64, 63, 62, 61;

-Y, -Z, Y, -X, -Y, -Z, Y, -Z, -Y, -Y, -Y, X, Y, -X, -Y, -Z, Y, -X, -Y, X, Y, Y, Y;

N₁ = 276 / 24 = 11,5; N₂ = 0; N_c = 276 / 24 = 11,5.

k= 2:

11, 21, 31, 53, 42, 61, 33, 23, 13, 63, 44, 51;

12, 22, 32, 54, 43, 62, 34, 24, 14, 64, 41, 52;

-X, -X, -Z, -X, -X, Z, -X, -X, -Z, -X, -X;

N₁ = 132 /24 = 5,5; N₂ = 12 /24 = 0,5; N_c = 144 / 24 = 6,0.

k= 3:

11, 21, 31, 41, 64, 23, 33, 43, 13;

14, 24, 34, 44, 63, 22, 32, 42, 12;

51, 54, 53, 52, 41, 64, 61, 62, 63;

-X, -X, -X, Z, Z, X, X, X;

N₁ = 91/ 24 = 3,79; N₂ = 15/24 = 0,63; N_c = 106 / 24 = 4,43.

k= 4:

11, 21, 31, 53, 42, 61;

12, 22, 32, 54, 43, 62;

13, 23, 33, 51, 44, 63;

14, 24, 34, 52, 41, 64;

-X, -X, -Z, -X, -X;

N₁ = 60 / 24 = 2,5; N₂ = 18 / 24 = 0,75; N_c = 78 / 24 = 3,25.

k= 5:

11, 21, 31, 41, 64;

12, 22, 32, 42, 61;

13, 23, 33, 43, 62;

14, 24, 34, 44, 63;

51, 54, 53, 52, 41;

-X, -X, -X, Z;

N₁ = 46 / 24 = 1,92; N₂ = 19 / 24 = 0,79; N_c = 65 / 24 = 2,71.

k= 6:

11, 21, 31, 41;

12, 22, 32, 42;

13, 23, 33, 43;

14, 24, 34, 44;

51, 54, 53, 52;

61, 62, 63, 64;

-X, -X, -X;

N₁ = 36 / 24 = 1,5; N₂ = 24 / 24 = 1,0; N_c = 60 / 24 = 2,5.

k= 7:

11, 21, 31, 41;

12, 22, 32, 42;

13, 23, 33, 43;

14, 24, 34, 44;

51, 54, 53, 52;

61, 62, 63, 64;

33, 43, 13, 23;

-X, -X, -X;

N₁ = 32 / 24 = 1,33; N₂ = 24 / 24 = 1,0; N_c = 56 / 24 = 2,33.

k= 8:

11, 21, 31, 41;

12, 22, 32, 42;

13, 23, 33, 43;

14, 24, 34, 44;

51, 54, 53, 52;

61, 62, 63, 64;

33, 43, 13, 23;

41, 11, 21, 31;

-X, -X, -X;

N₁ = 29 / 24 = 1,21; N₂ = 25 / 24 = 1,04; N_c = 54 / 24 = 2,25.

k= 9:

11, 21, 31, 41;

12, 22, 32, 42;

13, 23, 33, 43;

14, 24, 34, 44;

51, 54, 53, 52;

61, 62, 63, 64;

33, 43, 13, 23;

41, 11, 21, 31;

42, 12, 22, 32;

-X, -X, -X;

N₁ = 26 / 24 = 1,08; N₂ = 26 / 24 = 1,08; N_c = 52 / 24 = 2,17.

k= 10:

11, 21, 31, 41;

12, 22, 32, 42;

13, 23, 33, 43;

14, 24, 34, 44;

51, 54, 53, 52;

61, 62, 63, 64;

33, 43, 13, 23;

41, 11, 21, 31;

42, 12, 22, 32;

44, 14, 24, 34;

-X, -X, -X;

N₁ = 23 / 24 = 0,96; N₂ = 27 / 24 = 1,12; N_c = 50 / 24 = 2,08.

k= 11:

11, 21, 31, 41;

12, 22, 32, 42;

13, 23, 33, 43;

14, 24, 34, 44;

51, 54, 53, 52;

61, 62, 63, 64;

33, 43, 13, 23;

41, 11, 21, 31;

42, 12, 22, 32;

44, 14, 24, 34;

52, 51, 54, 53;

-X, -X, -X;

N₁ = 20 / 24 = 0,83; N₂ = 28 / 24 = 1,17; N_c = 48 / 24 = 2,0.

k= 12:

11, 21, 31;

12, 22, 32;

13, 23, 33;

14, 24, 34;

51, 54, 53;

61, 62, 63;

33, 43, 13;

41, 11, 21;

42, 12, 22;

44, 14, 24;

52, 51, 54;

64, 61, 62;

-X, -X, -X;

N₁ = 17 / 24 = 0,71; N₂ = 29 / 24 = 1,21; N_c = 46 / 24 = 1,92.

Подальше збільшення кількості пристроїв для пошуку міток не призводить до зменшення середньої кількості поворотів, оскільки одержане при k = 12 значення N_c = 1,92 збігається з мінімальним значенням N_c при k = 24.

Слід підкреслити, що мінімальне значення N_c = N₁ + N₂ при заданому значенні k у загальному випадку досягається за деяких немінімальних значень N₁ і N₂.

Так, якщо розмістити k = 12 пристроїв для пошуку міток на позиціях 11, 12, 13, 14, 31, 32, 33, 34, 51, 53, 61, 63, то мітки будуть знайдені або безпосередньо на зазначених позиціях, або на решті позицій після одного повороту посилки навколо осі Х у будь-якому напрямі, отже N₁ = 12 / 24 = 0,50 і має мінімальне значення, а N₂ = 44 / 24 = 1,83 – деяке немінімальне значення. При цьому N_c = N₁ + N₂ = 2,33.

Таким чином, N₁ = 0,50, N₂ = 1,83, N_c = 2,33, в той час, як у раніше наведеному розташуванні k = 12 пристроїв для пошуку міток було одержане N₁ = 0,92; N₂ = 1,0; N_c = 1,92.

У табл. 5.17 наведено залежність середньої кількості поворотів посилки N_c від значення кількості пристроїв для пошуку міток k.

Таблиця 5.17 – Залежність середньої кількості поворотів посилки

від кількості пристроїв для пошуку міток

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Nc	11,5	6,00	4,43	3,25	2,71	2,50	2,33	2,25	2,17	2,08	2,00	1,92

З табл. 5.17 випливає, що застосування понад 6 – 8 пристроїв для пошуку міток недоцільне, оскільки не призводить до скільки-небудь помітного зменшення середньої кількості поворотів посилки.

На рис. 5.18 наведено алгоритм керування автоматичним поворотом посилок.

Початок

1. Уведення послідовності

поворотів на першому етапі

k + 5. Уведення

2. Мітки Так послідовності поворотів на

знайдені пристроєм 1 другому етапі від позиції

розташування пристрою 1

Ні

k + 1. 2k + 4. Уведення

Мітки знайдені Так послідовності поворотів на

пристроєм k другому етапі від позиції

розташування пристрою k

Ні

k + 2. Всі 2k + 5. Всі

повороти першого етапу Так Так повороти другого етапу

виконані виконані

Ні Ні

k + 3. Черговий поворот 2k + 6. Черговий поворот

посилки на першому етапі посилки на другому етапі

k + 4. Формування відповіді 2k + 7. Формування відповіді

“Мітки не знайдені” “Індекс на позиції зчитування”

Кінець

Рисунок 5.18 – Алгоритм керування автоматичним поворотом посилки

Алгоритм містить 2k + 7 блоків (k – кількість пристроїв для пошуку міток).

У блоці 1виконується уведення послідовності поворотів посилки на першому етапі. У випадку керування поворотами за допомогою спеціалізованого пристрою послідовність поворотів не уводиться, а зберігається в постійному запам’ятовуючому пристрої.

У блоках 2, 3,…, k + 1 (усього k блоків) виконуються перевірки виявлення міток пристроями 1, 2,…, k. Якщо «Ні» – перехід до наступних блоків, якщо «Так» – до відповідного блока k + 5, k + 6,…, 2k + 4.

У блоці k + 2 виконується перевірка завершення поворотів посилки на першому етапі. Якщо «Ні» – перехід до наступного блока, якщо «Так» – до блока k + 4.

У блоці k + 3 виконується керування черговим поворотом посилки на першому етапі.

У блоці k + 4 формується відповідь «Мітки не знайдені». В цьому випадку посилка спрямовується на ручне оброблення.

У блоках k + 5, k + 5,…, 2k + 4 (усього k блоків) виконується уведення послідовностей поворотів на другому етапі від позиції розташування відповідного пристрою для пошуку міток 1, 2,…, k до позиції 11. У випадку керування поворотами за допомогою спеціалізованого пристрою послідовності поворотів не уводяться, а зберігаються в постійному запам’ятовувальному пристрої.

У блоці 2k + 5 виконується перевірка завершення поворотів посилки на другому етапі. Якщо «Ні» – перехід до наступного блока, якщо «Так» – до блока 2k + 7.

У блоці 2k + 6 виконується керування черговим поворотом посилки на другому етапі.

У блоці 2k + 7 формується відповідь «Індекс на позиції зчитування». В цьому випадку виконується зчитування індексу та його розпізнавання.