7

Лабораторная работа 2.1

Оптимизация параметров системы фапч

1 Цель работы

1.1 Изучение метода оптимизации систем РА с заданной передаточной функцией по критерию минимума среднеквадратичной погрешности.

1.2 Экспериментальное определение оптимальных параметров системы ФАПЧ.

2 Ключевые положения

2.1 Оптимизация системы РА состоит в определении ее передаточной функции по заданным показателям качества работы и известным характеристикам сигнала и помехи:

• – передаточной функции замкнутой системы, если оптимизируется замкнутая система РА;

• – передаточной функции разомкнутой системы, если оптимизируется разомкнутая система РА.

По известной передаточной функции можно построить функциональную схему и определить параметры всех функциональных элементов системы.

Для определения передаточной функции необходимо задаться показателями качества работы системы или критерием оптимальности. Разным критериям оптимальности будут соответствовать разные передаточные функции системы при одинаковых характеристиках сигнала и помехи. Спроектированную таким образом систему РА называют оптимальной по заданному критерию.

2.2 Наиболее распространенным критерием оптимальности является критерий минимума среднеквадратической погрешности:

(1)

где – параметр, который оценивается системой (фаза входного сигнала в случае системы ФАПЧ);

– оценка параметра (фаза управляемого генератора в случае системы ФАПЧ).

Этот критерий вытекает из главного требования к любой системе РА: оценка параметра должна стремиться к оцениваемому системой параметру . Существуют другие критерии оптимальности, которые позволяют спроектировать систему РА, которая удовлетворяет требованию . Однако критерий минимума среднеквадратической погрешности позволяет спроектировать систему при минимуме исходных данных – достаточно знать спектральные плотности мощности оцениваемого параметра и помехи .

Критерий минимума среднеквадратической погрешности не учитывает такие показатели системы как сложность, надежность и прочие. Для учета подобных показателей необходимо вводить дополнительные ограничения.

2.3 Если передаточная функция, т.е. функциональная схема, системы РА задана, то оптимизация состоит в определении параметров ее функциональных элементов: крутизны характеристик детекторов и генераторов (усиление системы), частоты среза ФНЧ цепи управления.

В таком случае, для осуществления оптимизации необходимо найти выражение среднеквадратической погрешности системы как функции оптимизируемых параметров:

(2)

где – параметр системы.

Для расчета оптимальных параметров необходимо найти минимум выражения среднеквадратической погрешности (2), для чего решается система уравнений:

(3)

2. Одним из случаев оптимизации системы РА, передаточная функция которой задана, является оптимизация ее эквивалентной шумовой полосы , которую также называют эффективной полосой пропускания. Просто эта задача решается тогда, когда оцениваемый параметр и помеха статистически независимы. В большинстве случаев на входе системы РА действует сигнал, искаженный АБГШ, поэтому обозначенное условие выполняется. В процессе оптимизации эквивалентной шумовой полосы АЧХ системы считают прямоугольной, а саму систему рассматривают как обычный ФНЧ с частотой среза .

Итак, система РА пропускает составляющие шума до частоты , а потому мощность шума на выходе системы будет определяться площадью (интегралом) спектральной плотности мощности шума в диапазоне (рис. 1). В то же время система подавляет полезные составляющие оцениваемого процесса , частоты которых превышают частоту , что вызывает линейные искажения. Мощность этих искажений определяется площадью (интегралом) спектральной плотности мощности оцениваемого процесса в диапазоне (рис. 1).

В результате среднеквадратическая погрешность системы РА связана с ее эквивалентной шумовой полосой следующим уравнением:

(4)

При увеличении эквивалентной шумовой полосы мощность шума увеличивается, а мощность линейных искажений оцениваемого процесса уменьшается. Наоборот, при уменьшении эквивалентной шумовой полосы увеличивается мощность линейных искажений, а мощность шума уменьшается.

Если определить производную выражения (4), приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение относительно , то можно получить, что оптимальной шумовой полосой системы РА является такая частота , на которой спектральные плотности мощности оцениваемого процесса и шума равны:

(5)

2.5 После того, как определена эквивалентная шумовая полоса системы РА, можно определять оптимальные значения параметров ее функциональных элементов. Для решения этой задачи необходимо воспользоваться определением эквивалентной шумовой полосы, которое в случае замкнутой системы с передаточной функцией имеет вид:

(6)

Для систем ФАПЧ эквивалентная шумовая полоса определяется следующим выражением (см. табл. 1):

(7)

где – усиление системы ФАПЧ;

– крутизна регулировочной характеристики генератора, ;

– крутизна детекторной характеристики ФД, ;

– передаточная функция ФНЧ цепи управления.

Из табл. 1 вытекает, что эквивалентные шумовые полосы систем ФАПЧ без фильтра и с RC-фильтром одинаковы, поэтому оптимальное усиление таких систем:

(8)

где – оптимальная шумовая полоса, определяемая уравнением (5).

Таблица 1 – Эквивалентная шумовая полоса систем ФАПЧ

Тип фильтра	Передаточная функция фильтра	Эквивалентная шумовая полоса системы ФАПЧ
Без фильтра	1
RC-фильтр
ПИФ

Таким образом, системы ФАПЧ без фильтра и с RC-фильтром, теоретически, обеспечивают одинаковую среднеквадратическую погрешность . На практике среднеквадратическая погрешность системы ФАПЧ с RC-фильтром будет как-то зависеть от частоты среза фильтра, поскольку эта частота влияет на длительность переходных процессов в системе. Причем, чем меньше частота среза RC-фильтра, тем длительнее переходные процессы и тем больше среднеквадратическая погрешность. Смысл использования RC-фильтра состоит в подавлении продуктов нелинейных преобразований. Эти продукты возникают в нелинейных элементах системы (для ФАПЧ это фазовый детектор и управляемый генератор), когда усиление системы большое.

Эквивалентная шумовая полоса системы ФАПЧ с ПИФ является функцией трех параметров , где и – постоянные времени ПИФ. Ведь оптимальную шумовую полосу такой системы можно задать разными соотношениями этих трех параметров.

2.6 Представленный метод оптимизации систем РА по критерию минимума среднеквадратической погрешности не учитывает их АЧХ, она считается прямоугольной. Поэтому, в случае одинаковых эквивалентных шумовых полос систем ФАПЧ с разными фильтрами их среднеквадратические погрешности будут отличаться. Таким образом, представленный метод не обеспечивает глобального минимума среднеквадратической погрешности, но является простейшим.