1.11. Метод контурных токов

Метод контурных токов позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений до К = В — В, — У + 1 и основан на применении второго закона Кирхгофа.

Рассмотрим сущность метода сначала для расчета схемы цени без источников тока, т.е. при В. = 0:

1) выбираем К = В — У + 1 независимых контуров и положительных направлений так называемых контурных токов, каждый из которых протекает по всем элементам соответствующего контура.

Для планарных схем, т. е. допускающих изображение па плоскости без пересечения ветвей, достаточным условием выделения К независимых контуров является наличие в каждом из них хотя бы одной ветви, принадлежащей только этому контуру:

2) для К независимых контуров составляем уравнения по второму закону Кирхгофа, совместное решение которых определяет все контурные токи;

3) ток каждой ветви определяем по первому закону Кирхгофа как алгебраическую сумму контурных токов в соответствующей ветви.

В качестве примера рассмотрим расчет цепи на рис. 1.19, а с числом ветвей В = 6, узлов У = 4, независимых контуров К = В — У + 1 = 6 — 4 + 1 = 3. Выбирем независимые контуры 1-3 и положительные направления контурных токов в них i₁₁ I₂₂ и I₃₃ (рис. 1.19, б). В отличие от токов ветвей каждый контурный ток обозначим двойным индексом номера контура. Уравнения по второму закону Кирхгофа:

(1.29а) или в матричной форме

(1.296)

Решение системы уравнений (1.29а) методом подстановок или (1.196) численными методами на ЭВМ определяет контурные токи I₁₁, I₂₂, I₃₃. Токи ветвей (рис. 1.19) находим по первому закону Кирхгофа: I₁ = I₁₁, I₂ = I₂₂, I₃ = I₃₃, I₄ = — I₁₁ — I₃₃, I₅ = I₂₂ + I₃₃, I₆ = I₁₁ — I₂₂.

Из (1.29) очевиден принцип составления уравнений по методу контурных токов. В левой части уравнений коэффициент при контурном токе рассматриваемого контура положителен и равен сумме сопротивлений его ветвей. Коэффициенты при контурных токах в контурах, имеющих общие ветви с рассматриваемым контуром, равны сумме сопротивлений общих ветвей со знаком плюс (минус), если направления контурных токов в общих ветвях совпадают (противоположны).

Правая часть уравнений содержит алгебраическую сумму ЭДС ветвей рассматриваемого контура, причем слагаемое записывается со знаком плюс (минус), если направления ЭДС и положительное направление контурного тока совпадают (противоположны).

При расчете схемы замещения с источниками тока возможны упрощения. Контурный ток, выбранный так, что других контурных токов в ветви с источником тока нет, известен. Поэтому в схеме с В ветвями, В, из которых содержат источники тока, число независимых контуров без источников тока и соответствующих им неизвестных контурных токов равно К = В — В_J — У + 1.

Например, в цепи на схеме рис. 1.20 число ветвей В = 5, ветвей с источниками тока В_J = 2, узлов У = 3, независимых контуров без источников тока К = В — В_J — У + 1 = 5 — 2 — 3 + 1 = 1 (контур 3). Уравнение по второму закону Кирхгофа для контура 3 при выбранных положительных направлениях контурных токов:

r₁I₁₁ — r₂I₂₂ + (r₁ + r₂ + r₃)I₃₃ = E

т.е.

FORMULA!

где I₁₁ = J₁, I₂₂ = J₂ — известные токи контуров 1 и 2. Токи ветвей: I₁ = I₁₁ + I₃₃; I₂ = I₃₃ — I₂₂; I₃ = I₃₃.