2.6. Максимальное, среднее и действующее значения синусоидальных величин

В линейной цепи при действии синусоидально изменяющейся ЭДС токи также синусоидальны:

i = I_msin(wt + y_i),

где w — угловая частота; y_i — начальная фаза; I_m — максимальное значение (амплитуда) тока.

Средним значением синусоидальной величины считают ее среднее значение за положительный полупериод, совпадающее со средним значением по модулю. Например, для тока вычислим среднее значение, выбрав начальную фазу равной нулю:

(2.16)

Среднее значение тока измеряется приборами магнитоэлектрической системы, измерительная цепь которых содержит выпрямитель тока.

Синусоидальный ток в резистивном элементе с сопротивлением r вызывает нагрев этого элемента из-за выделения тепловой энергии. Такую же тепловую энергию в этом же резистивном элементе можно получить при некотором постоянном токе. Определенное посредством такого сравнения значение постоянного тока называется действующим значением соответствующего синусоидального тока.

При синусоидальном токе за один период Т в резистивном элементе с сопротивлением г выделяется тепловая энергия

где i — мгновенное значение синусоидального тока.

По определению действующего значения синусоидального тока такое же количество тепловой энергии в том же резистивном элементе должно выделяться при постоянном токе за тот же интервал времени Т:

W_T = rI²T. Следовательно,

откуда находим действующее значение синусоидального тока:

(2.17)

Таким образом, действующее значение синусоидального тока определяется как среднее квадратичное за период. На рис. 2.8 показаны синусоидальный ток i, изменение во времени квадрата тока i² и графическое определение значения I² (из равенства площадей I²T = fi²dt), а тем самым и действующего значения I.

Для синусоидального тока нетрудно определить действующее значение через амплитудное:

FORMULY!

и так как FORMULA то

(2.18)

Действующее значение выбрано в качестве основной характеристики синусоидального тока потому, что в большом числе случаев его действие пропорционально квадрату этого значения, например тепловое действие, взаимодействие прямого и обратного проводов двухпроводной линии и т.д.

Аналогично для любой другой синусоидальной величины a = A_msin(wt + y) (ЭДС, напряжение, магнитный поток и т. д.) среднее значение

A_ср = 2A_m/p == 0,637A_m; (2.19a) действующее значение

FORMULA! (2.19б)

2.7. Различные способы представления синусоидальных величин

Известно несколько способов представления синусоидально изменяющихся величин: в виде тригонометрических функций, в виде графиков изменений во времени, в виде вращающихся векторов и, наконец, в виде комплексных чисел.

В § 2.5 и 2.6 уже применялись представления синусоидально изменяющихся величин в виде тригонометрических функций, например (2.14), (2.15), и в виде графика изменений во времени (рис. 2.6).

Теперь рассмотрим представление синусоидально изменяющихся величин в виде вращающихся векторов и комплексных чисел.

А. Представление синусоидальных величин вращающимися векторами. Для представления синусоидально изменяющейся величины

а = A_msin(wt + y)

с начальной фазой y вращающимся вектором построим (рис. 2.9, а) радиус-вектор А_m этой величины длиной (в масштабе построения), равной амплитуде А_m, и под углом y к горизонтальной оси. Это будет его исходное положение в момент начала отсчета времени t = 0.

Если радиус-вектор вращать с постоянной угловой скоростью и против направления движения часовой стрелки, то его проекция на вертикальную ось будет равна A_msin(wt + y). По значениям этих величин можно построить график зависимости синусоидальной величины от фазы wt или от времени t. Такое построение приведено дня некоторых значений t на рис. 2.9,б.

Применение вращающихся векторов позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты.

Б. Представление синусоидальных величин комплексными числами. От представления синусоидальных величин вращающимися радиусами-векторами нетрудно перейти к представлению синусоидальных величин комплексными числами.

Для того чтобы представить синусоидальную величину

а = A_msin(wt + y) (2.20)

с начальной фазой y комплексным числом, проведем на комплексной плоскости (рис. 2.10) из начала координат под углом y к оси действительных величин и чисел вектор, длина которого в масштабе построения равна амплитуде А_m синусоидальной величины. Конец этого вектора находится в точке, которой соответствует определенное комплексное число — комплексная амплитуда синусоидальной величины:

FORMULA!

Так же обозначается и соответствующий комплексной амплитуде вектор на комплексной плоскости.

При увеличении во времени фазы wt + y синусоидальной величины угол между вектором и осью действительных величин растет, т. е. получается вращающийся вектор

A_me^{j(wt + y)} = A_mcos(wt + y) =jA_msin(wt + y).

Нетрудно видеть, что мнимая часть вращающегося вектора равна заданной синусоидальной величине (2.20).

По существу представление синусоидальной величины комплексной амплитудой А_m и соответствующим ей вектором на комплексной плоскости геометрически подобно представлению той же синусоидальной

величины вращающимся радиусом-вектором А_m в момент времени t = 0 (рис. 2.9, a). Поэтому может создаться впечатление, что оба представления синусоидальных величин практически совпадают. В действительности это не так. В случае представления синусоидальных величин комплексными числами можно применить весьма эффективный комплексный метод анализа электрических цепей синусоидального тока, который в настоящее время завоевал всеобщее признание.

Вектор на комплексной плоскости, длина которого в масштабе построения равна действующему значению синусоидальной величины, и соответствующее комплексное число называются комплексным действующим значением синусоидальной величины:

(2.21)

Так же обозначается и сам вектор на комплексной плоскости (рис.2.10).

Применяются три формы записи комплексного значения синусоидальной величины:

показательная форма

(2.22) тригонометрическая форма

(2.23)

и алгебраическая форма

(2.24)

где ?????? и ??????? — действительная и мнимая составляющие комплексного значения синусоидальной величины;

Переход от показательной формы к тригонометрической выполнен при помощи формулы Эйлера:

(2.25)

При значениях угла y = p/2 и y = -p/2 из формулы Эйлера следуют два часто встречающихся соотношения

e^jp/2 = j и е^-jp/2 =-j = 1/j. (2.26)

При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения синусоидальных величин;

сокращенно их называют комплексными значениями, а соответствующие векторы на комплексной плоскости — векторами комплексных значений. Например, синусоидальному току

i = I_msin(wt + y_i) = 10sin(wt + 45°) соответствует комплексное значение тока

FORMULA!

Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты называется векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Это упрощает расчеты и делает их наглядными.

Взаимное расположение векторов комплексных значений на векторной диаграмме не изменится, если начальные фазы y всех комплексных значений уменьшить (увеличить) на одну и ту же величину. Это означает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе цепей векторную диаграмму строят так, чтобы вектор одного комплексного значения был направлен вдоль оси действительных величин. Такой вектор называется исходным вектором.

Направления синусоидальных величин (ток, напряжение и др.) в цепи периодически изменяются, но одно из двух направлений принимается положительным. Это направление выбирается произвольно и показывается стрелкой на схеме соответствующего участка цепи. При выбранном положительном направлении синусоидальная величина представляется мгновенным

значением a = A_msin(wt + y) и соответствующим комплексным значением ?????? [см. (2.21)]. Следовательно, взаимно однозначному представлению синусоидальных токов, напряжений и других величин в виде мгновенных и комплексных значений соответствуют их одинаковые положительные направления (рис. 2.11).