1.9. Метод эквивалентного преобразования схем

В ряде случаев расчет сложной электрической цепи упрощается, если в ее схеме замещения заменить группу резистивных элементов другой эквивалентной группой, в которой резистивные элементы соединены иначе. Взаимная эквивалентность заключается в том, что после замены режим работы остальной части цепи не изменится.

А. Смешанное соединение резистивных элементов. При наличии в цепи одного источника внешнюю по отношению к нему часть схемы можно в большинстве случаев рассматривать как смешанное (последовательно-параллельное) соединение резистивных элементов.

Для расчета такой цепи удобно преобразовать ее схему замещения в эквивалентную схему с последовательным соединением резистивных элементов. Например, в цепи на рис. 1.14, а между узлами а и b включены три резистивных элемента с сопротивлениями r₂, r₃ и r₄, т. е. проводимостями g₂ = 1/r₂, g₃ = 1/r₃, g₄ = 1/r₄; эквивалентная проводимость

g_Э = 1/r₂ + 1/r₃ + 1/r₄. (1.15)

После замены параллельного соединения резистивных элементов эквивалентным резистивным элементом с сопротивлением r_Э = 1/g_Э получается эквивалентная схема с последовательным соединением двух резистивных элементов r₁ и r₃ (рис. 1.14, б).

Ток в неразветвленной части

I₁ = U/(r₁ + r₃),

и токи в параллельных ветвях

I₂ = U_ab/r₂; I₃ = U_ab/r₃; I₄ = U_ab/r₄, (1.16) где

U_ab = r_ЭI₁

Б. Соединение резистивных элементов по схеме звезды и треугольника. В общем случае схему замещения цепи по схеме n-лучевой звезды из резистивных элементов можно заменить эквивалентной схемой в виде n-стороннего многоугольника. Обратное преобразование возможно в ограниченном числе случаев. В частности, преобразования в обоих направлениях возможны для случая треугольника и трехлучевой звезды. Такое преобразование применяется при расчетах сложных цепей постоянного тока и цепей трехфазного тока (см. гл. 3).

Эквивалентность схем в виде треугольника и звезды (рис. 1.15) получается приравниванием значений сопротивлений или проводимостей между одноименными узлами этих схем, отсоединенных от остальной части цепи.

Найдем сопротивление между узлами А и В.

Проводимость между узлами А и В для схемы треугольника на рис. 1.15, а

ФОРМУЛА

Сопротивление между узлами А и В — величина, обратная проводимости между этими узлами, т. е.

(r_ABr_BC + r_CAr_AB)/(r_AB + r_BC + r_CA).

Для схемы звезда на рис. 1.15, b сопротивление между теми же узлами А и В равно сумме сопротивлений двух ветвей: r_A + r_B. Согласно условию эквивалентности должно выполняться равенство

ФОРМУЛА (1.17)

здесь ????? — сумма сопротивлений всех ветвей для треугольника.

Структуры треугольника и звезды по отношению к узлам симметричны. Поэтому уравнения равенства сопротивлений между узлами В и С и между узлами С и Л можно получить из (1.17) простой циклической перестановкой индексов:

ФОРМУЛА (1.18)

ФОРМУЛА (1.19)

Чтобы определить сопротивление r_A звезды, сложим (1.17) и (1.19) и вычтем из этой суммы (1.18); разделив последнее на 2, найдем

(1.20)

Сопротивления других ветвей звезды получим путем циклической перестановки индексов:

(1.21)

(1.22)

В случае равенства сопротивлений ветвей треугольника (r_AB = r_BC = r_CA = r_) сопротивления ветвей эквивалентной звезды тоже одинаковы:

r_|=r_/3. (1.23)

Возможно обратное преобразование звезды из резистивных элементов в эквивалентный треугольник.

Для этого перемножим попарно выражения (1.20)-(1.22) и сложим полученные произведения:

r_Ar_B + r_Br_C + r_Cr_A = r_ABr_BCr_CA/(r_AB + r_BC + r_CA).

Последнее уравнение разделим на (1.22) и определим сопротивление ветви треугольника:

r_AB = r_A +r_B + r_Ar_B/r_C. (1.24)

Путем циклической перестановки индексов в (1.24) найдем выражения для сопротивлений двух других ветвей:

r_BC = r_B + r_C + r_Br_C/r_A; (1.25)

r_CA = r_C + r_A + r_Cr_A/r_B. (1.26)

Примером упрощения расчетов может служить преобразование мостовой схемы соединения резистивных элементов (рис. 1.16, а). После замены одного из треугольников эквивалентной звездой всю цепь (рис. 1.16, б) можно рассматривать как смешанное соединение резистивных элементов.

1.10. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Метод узловых потенциалов позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений до У — 1, где У — число узлов схемы замещения цепи. Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и заключается в следующем:

1) один узел схемы цепи принимаем базисным с нулевым потенциалом. Такое допущение не изменяет значения токов в ветвях, так как ток в каждой ветви зависит только от разностей потенциалов узлов, а не от действительных значений потенциалов;

2) для остальных У — 1 узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, выражая токи ветвей через потенциалы узлов;

3) решением составленной системы уравнений определяем потенциалы У — 1 узлов относительно базисного, а затем токи ветвей по обобщенному закону Ома (1.8).

Рассмотрим применение метода на примере расчета цепи по рис. 1.17, содержащей У = 3 узла. Узел 3 принимаем базисным, т. е. j₃ =0. Для узлов 1 и 2 уравнения по первому закону Кирхгофа:

узел 1

I₁ + I₃ + J₁ = 0;

узел 2

I₂ — I₃ — J₂ =0, где

I₁ = (j₁ — j₃)/r₁ = j₁/r₁; I₂ = (j₂ — j₃)/r₂ =j₂/r₂; I₃ = (j₁ — j₂ + E)/r₃,

т. е. после подстановки

FORMULA! (1.27а) или в матричной форме

FORMULA! (1.276)

Решение системы уравнений (1.27а) методом подстановок или (1.276) численным методом на ЭВМ определяет потенциалы узлов j₁ и j₂, а следовательно, и токи ветвей по (1.8).

Из записи (1.27) очевиден принцип составлений уравнений по методу узловых потенциалов. В левой части уравнений коэффициент при потенциале рассматриваемого узла положителен и равен сумме проводимостей сходящихся к нему ветвей. Коэффициенты при потенциалах узлов, соединенных ветвями с рассматриваемым узлом, отрицательны и равны проводимостям соответствующих ветвей.

Правая часть уравнений содержит алгебраическую сумму токов ветвей с источниками токов и токов короткого замыкания ветвей с источниками ЭДС, сходящихся к рассматриваемому узлу, причем слагаемые берутся со знаком плюс (минус), если ток источника тока и ЭДС направлены к рассматриваемому узлу (от узла).

В частном случае схемы замещения без источников тока с двумя узлами потенциал узла 1 при базисном узле 2, т. е. при j₂ = 0, равен напряжению между узлами

(1.28)

Выражение (1.28) называется формулой межузлового напряжения. Например, для цепи на схеме рис. 1.18 напряжение между узлами по (1.28)