2.22. Цепи с индуктивно связанными элементами

У двух катушек индуктивности с числами витков w₁ и w₂ и токами i₁ и i₂ (рис. 2.49, а), достаточно близко расположенных относительно друг друга, часть магнитных линий поля каждой из катушек может быть сцеплена с витками другой катушки. Поэтому кроме собственных потокосцеплений каждой из катушек y₁₁ и y₂₂ нужно при расчетах таких цепей учитывать добавочные потокосцепления витков первой и второй катушек, где F_k12 -

поток через k-й виток первой катушки от тока во второй катушке, а F_k21 — поток через k-й виток второй катушки от тока в первой катушке.

Отношение добавочного потокосцепления первой катушки y₁₂ к току i₂ второй катушки называется взаимной индуктивностью первой и второй катушек:

M₁₂ = y₁₂/i₂

Аналогично определяется взаимная индуктивность второй и первой катушек:

M₂₁ = y₂₁/i₁

Опыт показывает, что M₂₁ = М₁₂ = М. Строгое доказательство этого условия возможно с применением теории электромагнитного поля. Взаимная индуктивность в линейных цепях не зависит от направлений и значений токов, а определяется только конструкцией катушек и их взаимным расположением.

Полное потокосцепление y каждой из двух рассматриваемых индуктивно связанных катушек содержит две составляющие, которые могут складываться или вычитаться в зависимости от направления токов в катушках и их взаимного расположения. В первом случае включение индуктивно связанных катушек называется согласным, во втором случае — встречным. Так как эскизное изображение индуктивно связанных катушек сложно (рис. 2.49, a), то для описания характера индуктивной связи пользуются условными обозначениями.

На схемах замещения цепей обозначают точками (рис. 2.49, б и в) одноименные выводы ("начала") каждой из катушек. Если токи направлены одинаково относительно одноименных выводов (рис. 2.49, б), то катушки включены согласно. Собственное и добавочное потокосцепления в каждой катушке должны суммироваться, т. е. полное потокосцепление первой катушки

y₁ = y₁₁ + y₁₂ и полное потокосцепление второй катушки

y₂ = y₂₂ + y₂₁.

Если токи направлены по-разному относительно одноименных выводов (рис. 2.49, в), то катушки включены встречно, т. е.

y₁ = y₁₁ – y₁₂; y₂ = y₂₂ + y₂₁

Здесь, как и ранее, под направлениями токов следует понимать их выбранные положительные направления.

Согласно закону электромагнитной индукции (2.2) в каждой катушке будет индуктироваться ЭДС. В первой катушке ЭДС индукции

FORMULA! (2.78а)

и во второй катушке

FORMULA! (2.786)

где e_L1=–dy11/dt=–L1di1/dt; е_L2=–dy22/dt=–L₂di₂/dt–ЭДС самоиндукции первой и второй катушек; е_M1=–dy₁₂/dt=–Mdi₂/dt; е_M2=–dy₂₁/dt=–Mdi₁/dt — ЭДС взаимной индукции первой и второй катушек.

На рис. 2.49, а показано, что внутри катушек собственный магнитный поток и магнитный поток, вызванный током в другой катушке, направлены встречно, что соответствует нижнему знаку в (2.78) и рис. 2.49, в.

В § 2.3 было отмечено, что напряжение на катушке индуктивности u_L=–e_L [см. (2.3)]. Для индуктивно связанных катушек аналогично

u₁=u_ab=–е₁=–e_L1±e_M1=L₁di₁/dt±Mdi₂/dt=u_L1±u_M1; (2.79а)

u₂=u_cd=–e₂=–е_L2±е_M2=L₂di₂/dt±Mdi₁/dt=u_L2±u_M2. (2.796)

При последовательном включении катушек индуктивности в общей Точке могут быть соединены одноименные или разноименные выводы. В первом случае катушки включены со гласно, а во втором — встречно.

Если за интервал времени t₁ токи в двух индуктивно связанных катушках изменяются от нуля до значений i₁ и i₂, то в их общем магнитном поле будет запасена энергия

FORMULA! (2.80)

здесь применен метод интегрирования по частям: FORMULA!

Таким образом, по сравнению с энергией магнитного поля двух индуктивно не связанных катушек энергия общего магнитного поля двух индуктивно связанных катушек увеличивается или уменьшается на

W_м.вз=Mi₁i₂.

При синусоидальных токах в индуктивно связанных катушках для расчета цепей применим комплексный метод. По аналогии с комплексной формой закона Ома для индуктивного элемента (2.32) запишем в комплексной форме уравнения (2.79):

U.₁=U._L1 ± U._M1 = jwL₁I.₁ ± jwMI.₂ = jx_L1I.₁ ± jx_MI.₂; (2.81a)

U.₂=U._L2 ± U._M2 = jwL₂I.₂ ± jwMI.₁ = jx_L2I.₂ ± jx_MI.₁, (2.81б)

где x_M=wМ — сопротивление взаимной индуктивности; I.₁ и I.₂ — комплексные значения токов.

Соответственно комплексные значения ЭДС самоиндукции и взаимной индукции

FORMULA! (2.82а)

FORMULA! (2.826) Комплексные мощности каждой из индуктивно связанных катушек

S₁ = U.₁I.*₁ = U._L1I.*₁ ± U._M1I.*₁ = jx_L1I₁² ± jx_MI.*₁I.₂ = jQ_L1 ± S₁₂; (2.83a)

S₂ = U.₂I.*₂ = U._L2I.*₂ ± U._M2I.*₂ = jx_L2I₂² ± jx_MI.*₁I.₂ = jQ_L2 ± S₂₁. (2.83б)

Сагаемые

S₁₂ = jx_MI.*₁I.₂ = jx_MI₁I₂cos(y_i2 – y_i1) – x_MI₁I₂sin(y_i2 – y_i1) = jQ₁₂ – P₁₂ (2.84а)

и

S₂₁ = jx_MI.₁I.*₂ = jx_MI₁I₂cos(y_i1 – y_i2) – x_MI₁I₂sin(y_i1 – y_i2) = jQ₂₁ – P₂₁ (2.84а)

в которых Q₁₂ = Q₂₁ и P₁₂ = –P₂₁ определяют реактивную и активную мощности, передаваемые соответственно из второй катушки в первую и из первой во вторую.

В общем случае цепи с n индуктивно связанными катушками напряжение на каждой k-й

FORMULA! (2.85) где р№k.