7.5. Неразветвленная магнитная цепь с постоянным магнитом

Рассмотрим расчет простейшей неразветвленной магнитной цепи с постоянным магнитом. Предположим, что тороид длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 7.13, а) изготовлен из магнитно-твердого материала, часть предельного статического цикла гистерезиса которого В(Н) изображена на рис. 7.13, б. Материал тороида был предварительно намагничен так, что его магнитное состояние характеризуется остаточной индукцией В_r.

Вырежем из тороида участок длиной l_в < l (рис. 7.13, в). Оставшаяся часть тороида будет постоянным магнитом, а в образовавшемся воздушном зазоре магнитное поле возбуждается этим постоянным магнитом. Пренебрегая неоднородностью магнитного поля в воздушном зазоре, будем считать, что всюду в зазоре магнитное поле -характеризуется напряженностью магнитного поля Н_в и индукцией В_в = m₀Н_в .

Учтем, что вследствие "выпучивания" магнитных линий в воздушном зазоре площадь поперечного сечения воздушного зазора S_в больше площади поперечного сечения постоянного магнита S_м = S.

По закону полного тока (7.5) для контура, совпадающего со средней линией магнитопровода,

Н_мl_м + Н_вl_в = 0, (7.8)

где Н_м и l_м — напряженность магнитного поля и длина средней линии

постоянного магнита. Из (7.8) следует, что

(7.9)

Кроме того, так как магнитный поток Ф в неразветвленной магнитной цепи постоянен, то

s_вb_в = s_мb_м (7.1О)

Подставив значение индукции в, воздушном зазоре B_в из (7.10) в (7.9), получим уравнение прямой линии, проходящей через начало координат (рис. 7.13, б):

(7.11)

где N_м = S_мl_в/m₀S_вl_м — коэффициент размагничивания постоянного магнита.

Точка пересечения А прямой Н_м = –N_мB_м и предельного статическою цикла гистерезиса материала В(Н) определяет индукцию в магните В = В_м, а следовательно, и индукцию в воздушном зазоре по

(7.10).

Если в воздушный зазор медленно вводить ферромагнитный замыкатель с малым магнитным сопротивлением, то значение индукции в магнитопроводе будет увеличиваться по частному гистерезисному циклу, показанному на рис. 7.13, б штриховой линией. При многократном магнитном замыкании и размыкании воздушного зазора изменение индукции магнита происходит по некоторому установившемуся частному циклу.

Для получения больших значений индукции в воздушном зазоре необходимо изготовлять постоянный магнит из магнитно-твердых материалов, т. е. с большим значением коэрцитивной силы Н_с .

7.6. ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Принцип работы многих электромагнитных устройств постоянного тока, например электроизмерительных приборов, электромеханических реле, электромагнитов, основан на электромеханическом действии магнитного поля. Во всех этих устройствах для расчета сил, действующих на различные части магнитопроводов, часто требуется выразить силу через изменение энергии магнитного поля.

В качестве примера рассмотрим определение силы в системе, состоящей из двух катушек индуктивности: неподвижной с числом витков w₁ и подвижной с числом витков w₂, подключенных согласно к источникам постоянного тока j₁ и J₂ (рис. 7.14).

Предположим, что под действием силы притяжения f катушка w₂ перемещается за время dt вдоль горизонтальной оси х на расстояние dx. За время dt от двух источников постоянного тока в рассматриваемую систему поступит энергия

p₁dt + p₂dt = u₁J₁at + u₂J₂dt,

где p₁ к p₂ — мгновенные значения мощности источников; u₁ и u₂ -напряжения между выводами катушек.

Энергия источников тока без учета потерь в проводах катушек расходуется на механическую работу и на изменение энергии магнитного поля системы:

u₁J₁dt + u₂J₂dt = fdx + dW_м. (7.12)

Напряжения u₁ и u₂ между выводами катушек возникают вследствие изменения полных потокосцеплений в каждой из них (см. § 2.22):

(7.13)

Так как в рассматриваемой системе токи в катушках J₁, J₂ и индуктивности катушек L₁, L₂ постоянны, то изменения полных потокосцеплений y₁ и y₂ вызваны изменением (увеличением) взаимной индуктивности М. (В общем случае изменяться могут и индуктивности катушек вследствие изменения геометрических размеров последних.) По закону электромагнитной индукции (2.78) напряжения между выв одами катушек

u₁ = dy₁/dt; u₂ = dy₂/dt. (7.14) С учетом (7.13) и (7.14) запишем уравнение (7.12) в виде J₁dy₁ + J₂dy₂ = d(L₁J²₁ + l₂j²₂ + 2MJ₁J₂) = fdx + dW_м. (7.15)

В этом уравнении величина в скобках согласно (2.80) равна удвоенной энергии магнитного поля системы 2W_м, откуда dW_м = fdx. Следовательно, электромеханическая сила, действие которой вызывает перемещение катушки Wi, может быть найдена через соответствующее этому перемещению изменение энергии магнитного поля;

f = dW_м/dx. (7.16)

Производная положительна, следовательно, электромеханическая сила f стремится переместить подвижную катушку так, чтобы энергия магнитного поля увеличилась. Такой же результат будет и при встречном включении катушек.

Применим условие (7.16) к ориентировочному расчету подъемной силы электромагнита, в котором магнитное поле возбуждается током I катушки (рис, 7.15).

Пренебрегая магнитным сопротивлением сердечника и якоря, найдем по (2.5) энергию однородного магнитного поля в воздушном зазоре высотой х и площадью поперечного сечения 25/2:

(7.17)

где y = m₀HSw — потокосцепление катушки электромагнита с числом витков w; Y_м = m₀S/x — магнитная проводимость воздушного зазора;

Н = Iw/x — напряженность в воздушном зазоре.

Полагая, что ток I постоянный, находим по (7.16)

(7.18)

т.е. якорь перемещается в направлении увеличения проводимости воздушного зазора (уменьшения х).

При значении х -> 0 нельзя уже пренебречь магнитными сопротивлениями сердечника и якоря и погрешность расчета по (7.18) возрастает.

В общем случае энергия магнитного поля системы зависит не только от взаимного расположения ее частей, поэтому при определении сил, возникающих в магнитном поле, следует пользоваться понятием частной производной от энергии магнитного поля по координате перемещения подвижной части.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ

КАТУШКА С МАГНИТОПРОВОДОМ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

8.1. ПОНЯТИЕ ОБ ИДЕАЛИЗИРОВАННОЙ КАТУШКЕ С МАГНИТОПРОВОДОМ

Конструкции магнитопро водов и их функциональные назначения в электротехнических устройствах переменного тока (машинах переменного тока, трансформаторах и т. д.) весьма разнообразны. В этой главе рассмотрим только катушки с неразветвленными магнитопрово-дами из ферромагнитного материала.

Переменный ток i в обмотке возбуждает в магнитопроводе и вокруг него переменное магнитное поле.

При расчетах цепей, содержащих катушки с магнитопроводом, во многих случаях допустимы упрощения реальных условий.

Качественно картина магнитных линий реальной катушки с магнитопроводом изображена на рис. 8.1 штриховыми линиями. Большая часть магнитных линий замыкается по магнитопроводу — это основной магнитный поток Ф. Другая часть магнитных линий охватывает отдельные витки и группы витков, замыкается по воздуху и частично по магнитопроводу. Эта часть магнитного поля трудно поддается количественному расчету и характеризуется обычно интегральной величиной, называемой потокосцеплением рассеяния y_рас.

Потокосцепление рассеяния y_рас в основном зависит от конструкции обмотки, т. е. взаимного расположения ее витков, сечения провода и т. д., и в меньшей степени — от магнитных свойств магнитопровода.

В воздухе (линейная среда) индукция пропорциональна напряженности магнитного поля: В = m₀Н. Поэтому можно считать, что потокосцепление рассеяния пропорционально току:

y_рас = L_расi,

где L — индуктивность рассеяния обмотки — постоянная величина. Полное потокосцепление с витками катушки y = wF + y_рас. (8.1)

.С учетом активного сопротивления обмотки г, ипотокосцепления рассеяния напряжение между выводами катушки определяется выражением

(8.2)

Из (8.2) следует, что реальную катушку с магнитопроводом можно представить схемой замещения в виде последовательного соединения резистивного элемента с сопротивлением витков обмотки r_в, индуктивного элемента с индуктивностью рассеяния L_рас и так называемой идеализированной катушки (рис. 8.2).

У идеализированной катушки обмотка не имеет индуктивности рассеяния и активного сопротивления. Свойства идеализированной катушки зависят только от параметров магнитопровода и режима ее намагничивания, а напряжение между ее выводами определяется ЭДС самоиндукции по (2.3) u₀ = –e₀ = wdF/dt в витках обмотки (рис. 8.2).

8.2. ПРОЦЕССЫ НАМАГНИЧИВАНИЯ МАГНИТОПР080ДА ИДЕАЛИЗИРОВАННОЙ КАТУШКИ

Рассмотрим режим намагничивания магнитопровода идеализированной катушки, подключенной к источнику синусоидальной ЭДС. На основании второго закона Кирхгофа для контура, обозначенного на рис. 8.3,a штриховой линией, получим уравнение

u₀ = –е₀ (8.3а) или

u₀ = U_0msinwt = wdF/dt. (8.3б)

Из этого уравнения найдем закон изменения во времени магнитного потока. Так как

то

Постоянная интегрирования А равна некоторому постоянному магнитному потоку, которого нет в магнитопроводах аппаратов переменного тока в установившемся режиме работы. Следовательно, постоянная А =0 и магнитный поток

F = F_msin (wt – p/2), (8.4а) где

F_m = U₀/4,44fw (8.4б)

т. е. при синусоидальном напряжении между выводами идеализированной катушки магнитный поток в магнитопроводе также синусоидальный и не зависит от свойств ферромагнитного материала.

Так как действующие значения напряжения U₀ между выводами идеализированной катушки и ЭДС самоиндукции E₀ одинаковые [см. (8.3а)], то из (8.46) получим

E₀ = 4,44fwF_m. (8.4в)

Последнее соотношение применяют для расчетов ЭДС, индуктируемых, в обмотках трансформаторов; поэтому его часто называют уравнением трансформаторной ЭДС.

Рассмотрим теперь изменение тока в обмотке идеализированной катушки. При заданной петле гистерезиса материала магнитопровода, например на рис. 7.6, б, построим вебер-амперную характеристику Ф(0 рассматриваемой идеализированной катушки. Для этого ординаты петли умножим на площадь S поперечного сечения магнитопровода (Ф = BS), а абсциссы умножим на среднюю длину i магнитопровода и разделим на число витков обмотки (по закону полного тока i = Hl/w).

Полученная характеристика показана на рис. 8.3, б. На том же рисунке построены по (8.4а) синусоидальный магнитный поток и графически зависимость тока в обмотке от времени. Из рисунка видно, что при синусоидальном потоке из-за нелинейности характеристики Ф(г) ток несинусоидальный. Чем больше насыщение магнитопровода, тем сильнее отличается ток от синусоидального.

Сопоставив график изменения намагничивающего тока с графиком, полученным путем сложения двух синусоид, частота одной из которых в 3 раза больше частоты другой (рис. 8.4), можно заметить, что при насыщении магнитопровода намагничивающий ток прежде всего содержит значительную третью гармоническую составляющую. Различие в графиках намагничивающего тока на рис. 8.3,б и 8.4 объясняется тем, что в первом случае ток содержит кроме первой и третьей гармоник также и другие гармонические составляющие.