8.3. Уравнения, схемы замещения и векторные диаграммы реальной катушки с магнитопроводом

В зависимости от параметров магнитопровода и режима его намагничивания для анализа реальной катушки можно принять различные упрощающие допущения.

Рассмотрим сначала особенности анализа катушки с магнитопроводом, учитывая только статические магнитные свойства последнего (см. рис. 7.6).

1. Магнитопровод изготовлен из ферромагнитного материала с практически линейной зависимостью индукции от напряженности магнитного поля: В = m_rm₀H (см. рис. 7.6, в).

В однородном замкнутом неразветвленном магнитопроводе идеализированной катушки (рис. 8.2) с площадью поперечного сечения S можно считать магнитное поле однородным, т. е. F = BS, где В — индукция на средней линии магнитопровода, определяется по напряженности магнитного ноля на средней линии H = iw/l_ср.

Так как в рассматриваемом случае зависимость между индукцией и напряженностью магнитного Ноля в магнитопроводе линейная, то

(8.5)

Подставив значение магнитного потока в магнитопроводе идеализированной катушки из (8.5) в (8.4), получим напряжение между выводами реальной катушки (рис. 8.2) :

и = r_вi + L_расdi/dt + Ldi/dt, (8.6)

где L = m_rm₀Sw²/l_ср — индуктивность идеализированной катушки.

В цепи синусоидального тока выражению (8.6) соответствует схема замещения реальной катушки (рис. 8.5, а) с магнитопроводом, выполненным из магнитного материала с линейными свойствами. Схема замещения идеализированной катушки — линейный индуктивный элемент — обведена на рисунке штриховой линией.

Так как все элементы схемы замещения реальной катушки линейные, то для ее расчета можно пользоваться комплексным методом, результаты которого с учетом (2.33) иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 8.5, б.

2. Магнитопровод изготовлен из ферромагнитного материала с округлой статической петлей гистерезиса (см. рис. 7.6, б).

Определим магнитостатические свойства магнитопровода зависимостью В(Н) (рис. 8.6), где В = F/S — среднее значение индукции в поперечном сечении площадью S, Н = iw/l_ср — напряженность на средней линии длиной l_ср. Статическую петлю гистерезиса магнитопровода В(Н) для приближенного анализа процессов в идеализированной катушке (рис. 8.2) заменим эквивалентным эллипсом. Эквивалентный эллипс с центром в начале координат должен иметь такие формы, расположение и направление обхода, чтобы его уравнение В (Н) с достаточной точностью описывало процесс намагничивания магнитопровода по статической петле гистерезиса В (Н). Обычно общая площадь эквивалентного эллипса и петли гистерезиса должна составлять не менее 80–90% площади каждого из них в отдельности.

При синусоидальном изменении напряжения питания и представим уравнение эквивалентного эллипса в параметрической форме:

В = B_msinwt; Н = H_msin(wt + d), (8.7)

где В и Н — максимальные значения индукции и напряженности;

d — угол сдвига фаз между напряженностью и индукцией; w — угловая частота перемагничивания магнитопровода; t— время.

Так как индукция и напряженность магнитного поля в магнитопроводе при замене петли гистерезиса эквивалентным эллипсом изменяются по синусоидальному закону, то для расчета цепи идеализированной катушки можно применить комплексный метод. Для этого представим напряженность и индукцию магнитного поля соответствующими им комплексными значениями (2.21): ?????????????

Запишем комплексные значения тока I. в идеализированной катушке по (7.2а), напряжения между ее выводами (U₀ и ЭДС самоиндукции е.₀ — по (2.33) и (8.1):

I. = l_срH/w = Ie^jd; (8.8a) U.0 = –е.₀ = jwwB.S = jU₀, (8.86)

где ????????? — действующие значения тока, напряжения и ЭДС самоиндукции идеализированной катушки. По закону Ома в комплексной форме [см. (2.47)] с учетом (2.23) и (8.8) найдем комплексное сопротивление идеализированной катушки в цепи синусоидального тока:

(8.9)

где

и

— активное сопротивление, учитывающее потери на гистерезис, и индуктивное сопротивление идеализированной катушки.

Заменив идеализированную катушку последовательным соединением резистивного элемента r_г и индуктивного элемента x_L, получим схему замещения реальной катушки для рассматриваемого случая (рис. 8.7, а). Из (8.86) и (8.9) видно, что ЭДС самоиндукции E.₀ идеализированной катушки соответствует ветвь схемы замещения, которая при наличии потерь в магиитопроводе содержит резистивный элемент.

Часто для реальной катушки составляют схему замещения по рис. 8.7,б, которая получается из схемы замещения на рис..8.7,в после замены последовательного соединения резистивного и индуктивного элементов схемы замещения идеализированной катушки эквивалентным параллельным соединением элементов (2.7):

где g и b_L — активная и индуктивная проводимости идеализированной катушки.

На рис. 8.8 приведена векторная диаграмма схемы замещения реальной катушки (рис. 8.7,б), на которой принят по (8.7) вектор F = B.S с нулевой начальной фазой. Вектор тока I, как следует из (8.7) и (8.8а), опережает вектор магнитного потока на угол d, называемый углом потерь идеализированной катушки. Ток I. представлен в виде суммы активной I._a и реактивной I._р составляющих тока,

причем активная составляющая тока I._a совпадает по фазе с напряжением U.₀ а реактивная I._р отстает по фазе от напряжения U.₀ на угол p/2.

Для определения напряжения U между выводами реальной катушки необходимо к напряжению идеализированной катушки U.₀ прибавить падения напряжения на активном сопротивлении U_Lрас = jx_расI. и индуктивном сопротивлении рассеяния U.L_рас = jx_рас1. обмотки. Вектор комплексного значения ЭДС самоиндукции E.₀ отстает по фазе от вектора комплексного значения магнитного потока F. в магнитопроводе на угол p/2 [см. (8.86)].

В общем случае зависимость среднего значения индукции от напряженности магнитного поля на средней линии в магнитопроводе определяется не по статическому, а по динамическому циклу гистерезиса (см. § 8.4). Поэтому эквивалентный эллипс, определяющий параметры схемы замещения идеализированной катушки в цепи переменного тока, в общем случае должен соответствовать динамическому циклу гистерезиса.

В.4. МОЩНОСТЬ ПОТЕРЬ В МАГ НИ ТО ПРОВОДЕ

Наличие гистерезиса приводит к потерям энергии в магнитопроводе. Действительно, в любой момент времени мощность потерь идеализированной катушки (рис. 8.7)

где u₀ — напряжение между выводами идеализированной катушки;

i — ток в катушке.

Для периодического, тока средняя мощность потерь, т.е. активная мощность идеализированной катушки за один период,

(8.10)

пропорциональна площади петли гистерезиса, умноженной на объем магнитопровода V = Sl_ср.

Площадь петли гистерезиса, как указывалось, в общем случае отличается от площади статической петли гистерезиса. Действительно, при изменяющемся во времени магнитном потоке в магнитопроводе индуктируются вихревые токи i_в (рис. 8.9, а), которые зависят как от частоты магнитного потока, так и от удельной электрической проводимости материала и конструкции магнитопровода. Вихревые токи i_в вызывают дополнительные потери энергии и нагрев магнитопровода. Кроме того, вихревые токи оказывают размагничивающее действие в магнитопроводе. Поэтому прежнее значение магнитного потока, а значит, и индукции при учете вихревых токов получается при большем намагничивающем токе, а значит, и при большей напряженности магнитного поля.

Следовательно, площадь динамической петли гистерезиса В_дин (H) для магнитопровода, в котором возникают вихревые токи, больше площади соответствующей статической петли гистерезиса В(Н) (рис. 8.10). Если при этом статическая петля гистерезиса находится внутри динамической петли гистерезиса, то мощность потерь в магнитопроводе можно разделить на две составляющие.

Мощность потерь на гистерезис пропорциональна площади статической петли гистерезиса, показанной на рис. 8.10 без штриховки. Мощность потерь на вихревые токи пропорциональна площади, показанной на рис. 8.10 штриховкой и равной разности между площадями динамической и статической петель гистерезиса.

Для уменьшения вихревых токов в магнитопроводах, во-первых, можно уменьшить площадь контуров, охватываемых вихревыми токами, во-вторых, можно увеличить удельное электрическое сопротивление самого материала. Для уменьшения площади контуров вихревых токов при частотах до 20 кГц магнитопроводы собираются из тонких листов электротехнической стали, изолированных лаком (рис. 8.9, б).

При промышленной частоте тока в катушке 50 Гц толщина листов обычно равна 0,35–0,5 мм. При более высоких частотах толщина листов уменьшается до 0,02–0,05 мм. В материал магнитопровода добавляется 0,5–4,5% кремния (Si); такая присадка значительно увеличивает удельное электрическое сопротивление материалам мало влияет на его магнитные свойства.

Мощность потерь на гистерезис в технических задачах можно определить по формуле

P_Г = q_ГfBⁿ_mG,

где q_Г — гистерезисный коэффициент, значение которого зависит от сорта электротехнической стали и определяется из опыта; f — частота;

G — масса магнитопровода; В — амплитуда магнитной индукции;

практически показатель степени п = 1,6 при В_m < 1 Тл и n = 2 при В > 1 Тл.

Мощность потерь на вихревые токи может быть выражена формулой

P_в = q_вf²gGB²_m, (8.12)

Таблица 8.1. Удельная мощность потерь в листовой электротехнической стали при разных значениях индукции

В_m.Тл Марка 1511–0,35, Вт/кг Марка 1511–0,50, Вт/кг

B_m,Тл Марка 1511–0,35, Вт/кг Марка 1511–0,50, Вт/кг

0,6 0,585 0,685 1,1 1,61 1,92

0,7 0,685 0,89 1,2 1,94 2,24

0,8 0,855 1,13 1,3 2,31 2,58

0,9 1,05 1,38 1,4 2,66 2,95

1,0 1,3 1.64 1,5 3 3,4

где q_в — коэффициент вихревых токов, значение которого зависит от copтa электротехнической стали и конструкции магнитопровода;

f — частота; G — масса магнитопровода; g — удельная проводимость материала; В_m — амплитуда магнитной индукции.

При значениях индукции больше 1 Тл можно считать, что мощность суммарных потерь в магнитопроводе пропорциональна В_m² и, следовательно, F_m². Таким образом, мощность потерь в магнитопроводе Р = Р_Г + Р_В пропорциональна квадрату амплитуды потока, подобно тому как мощность потерь в проводах обмотки пропорциональна квадрату амплитуды тока.

При расчетах электротехнических устройств для определения мощности потерь в магнитопроводах, выполненных из электротехнической стали, применяются справочные таблицы, в которых дана зависимость мощности суммарных потерь от амплитуды магнитной индукции (табл. 8.1).