5.1. Общие сведения

Переходные процессы возникают в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, т.е. при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например ключей, переключателей для включения или отключения источника или приемника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Отметим, что физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, т.е. индуктивных и емкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного [см. (2.5)] и электрического [см. (2.13)] полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации в цепи.

Переходный процесс в цепи описывается дифференциальным уравнением — неоднородным или однородным, если ее схема замещения содержит или не содержит источники ЭДС и тока. Заметим, что переходный процесс в линейной цепи описывается линейными дифференциальными уравнениями, а в нелинейной — нелинейными.

В дальнейшем ограничимся расчетом переходных процессов в линейных цепях, содержащих элементы с постоянными параметрами.

Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами разработаны различные аналитические методы: классический, оперативный, метод интеграла Фурье и др., которые применяются и для расчета переходных процессов. Ограничимся применением классического и операторного методов. Первый обладает физической наглядностью и удобен для расчета простых цепей, а второй упрощает расчет сложных цепей.

5.2. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Название метода "классический" отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики.

Расчет переходного процесса в цепи классическим методом содержит следующие этапы.

1. Прежде всего необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока i или напряжения u. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

2. Далее следует составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т.е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима обозначают i_y и u_y и называют установившимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса обозначают i_св и u_св и называют свободными, а их выражения Должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Свободный процесс вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях емкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, и энергией этих элементов при новом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следующий за коммутацией. Энергия элементов не может измениться скачком, и ее постепенное изменение обусловливает переходный процесс.

3. Наконец, в общем решении i = i_y + i_св u = и_y + u_св следует найти постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования определяют из начальных условий, т.е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации. Будем считать коммутационные кпючи идеальными, т.е. что коммутация в заданный момент времени t происходит мгновенно. При таких коммутациях ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе в начальный момент времени после коммутации t₊ такие же, как в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации t_– . Эти условия получаются из законов коммутации.

5.3. ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ

Законы коммутации утверждают, что ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе не могут изменяться скачком.

Докажем сначала закон коммутации для индуктивного элемента. Предположим, что в течение интервала времени от момента t₁ до момента t₂, ток в индуктивном элементе изменяется от значения iL(t₂) значения i_L(t₂). При этом средняя мощность изменения энергии магнитного поля индуктивного элемента [см. (2.5)] будет равна

Если интервал времени Dt = t₂ – t₁, в течение которого происходит изменение тока в индуктивном элементе, стремится к нулю и i_L(t₂) № i_L(t₁), то средняя мощность изменения энергии магнитного поля стремится к бесконечности.

Так как цепей бесконечно большой мощности не существует, то изменение тока в индуктивном элементе скачком невозможно. Этот вывод и является законом коммутации для индуктивного элемента, который можно записать в следующем виде:

i_L(t_–) = i_L(t₊), (5.1)

где t — момент времени, в который произошла коммутация в цепи. Закон коммутации для емкостного элемента легко получить по аналогии с доказанным законом коммутации для индуктивного элемента. Действительно, сравнивая выражения для энергии магнитного поля индуктивного элемента W_м =Li²_L/2 и энергии электрического поля емкостного элемента W_э =Си²_С/2 [см. (2.13)], видим, что относительно тока i_L и напряжения u_C они аналогичны. Следовательно, анализ энергетических процессов в емкостном элементе приведет к выводу: изменение напряжения на емкостном элементе скачком невозможно, т.е.

u_C(t_–) = u_C(t₊), (5.2) где t — момент времени, в который произошла коммутация в цепи. Те же законы коммутации следуют из соотношений ???????? и ???????, так как при изменении скачком тока i_L и напряжения

u_C получаются бесконечно большие значения напряжения u_L и тока i_C, что нарушает выполнение законов Кирхгофа.

Токи в индуктивных элементах i_L(t_–) и напряжения на емкостных элементах u_C(t_–) непосредственно перед коммутацией называются начальными условиями.

Если токи в индуктивных элементах и напряжения на емкостных элементах цепи в момент времени г равны нулю, т. е. i_L(t_–) = 0;

uC(t_–) = 0, то эти условия называются нулевыми начальными условиями. В противном случае получаются ненулевые начальные условия.

5.4. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА С ОДНИМ ИНДУКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

Рассмотрим несколько примеров переходных процессов, возникающих при коммутации в цепи постоянного тока с одним индуктивным элементом.

А. Подключение источника постоянной ЭДС к неразветвленной цепи с резистивным и индуктивным элементами. Проанализируем переходный процесс в цепи при замыкании ключа К в момент времени t = 0 (рис. 5.1,а), выполнив последовательно все этапы расчета классическим методом (см. § 5.2). В дальнейшем для сокращения решений математические операции отдельных этапов будем совмещать.

1. При выбранных положительных направлениях тока i и напряжений u_r и и_L составим систему уравнений, описывающих состояние цепи на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и Закона электромагнитной индукции:

u_L + u_r = E; и_L = Ldi/dt; и_r = ri. (5.3)

Исключая из системы уравнений (5.3) переменные u_r и u_L, получаем

неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса первого порядка

Ldi/dt + ri = E. (5.4)

2. Найдем общее решение неоднородного дифференциального уравнения (5.4) как сумму его частного решения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения:

Ldi/dt + ri = 0. (5.5)

Частным решением неоднородного дифференциального уравнения первого порядка (5.4) является постоянный ток (нет изменения тока и di/dt = 0) после окончания переходного процесса (который теоретически продолжается бесконечно), т. е.

i_y = Е/r, (5.6)

называемый установившимся током.

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что это частное решение удовлетворяет неоднородному дифференциальному уравнению (5.4).

Общее решение однородного дифференциального уравнения (5.5) называется свободным током

i_cв=Ae^pt, (5.7) где р = –r/L — корень характеристического уравнения

Lp + r = 0. (5.8)

Таким образом, с учетом (5.6) и (5.7) общее решение неоднородного дифференциального уравнения (5.4) имеет вид

(5.9)

3. Определим постоянную интегрирования А в общем решении (5.9). Для этого обратимся к закону коммутации для индуктивного элемента (5.1) в момент времени замыкания ключа t =0. Так как ток

в индуктивном элементе не может измениться скачком, а до коммутации, т. е. в момент t = 0 , он был равен нулю, то

i(0_–) =0 =i(0₊) = E/r+ A, откуда

А = –Е/r. (5.10)

Подставив это значение постоянной Л в (5.9), получим закон нарастания тока в цепи (рис. 5.1, б):

(5.11)

где t = L/r имеет размерность времени (Гн/Ом или с) и называется постоянной времени цепи. Постоянная времени определяет скорость нарастания тока и равна времени, за которое ток i достиг бы установившегося значения i_y = Е/r, если бы скорость его изменения оставалась неизменной и равной начальному значению скорости di/dt \ _t=0+ =E/L.

Переходный процесс часто можно считать практически закончившимся через интервал времени 3t с момента коммутации, когда ток достигнет значения i (3t) = 0,95Е/r.

Так как зависимость тока от времени найдена (5.11), то нетрудно определить и зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис. 5.1,б):

При 0 < t < t скорость изменения тока в цепи можно считать приближенно постоянной и равной ????????? Следовательно, в этом интервале времени приближенно напряжение на резистивном элементе равно

&&&&&&&&&

т. е. пропорционально интегралу напряжения источника ЭДС Е. Такую цепь принято называть интегрирующей цепью.

При действии на входе цепи источника изменяющейся ЭДС е может оказаться, что в некоторые интервалы времени переходного процесса и_r > и_L. Для этих интервалов времени ток в цепи i » е/r ,а напряжение на индуктивном элементе ????????? приближенно пропорционально скорости изменения напряжения источника ЭДС е. Имея это в виду, эту же цепь называют дифференцирующей цепью.

Б. Короткое замыкание катушки индуктивности с током. Рассмотрим переходный процесс в цепи катушки индуктивности с током, обладающей кроме индуктивности L также сопротивлением r, при замыкании ее накоротко ключом K. Подобные условия имеют место в обмотках электрических машин и аппаратов. Для этого представим катушку индуктивности схемой замещения в виде последовательного соединения индуктивного и резистивного элементов (рис. 5.2, a).

Запишем дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи после замыкания ключа:

u_L + u_r = Ldi/dt + ri = 0. (5.12)

Так как дифференциальное уравнение (5.12) однородное [совпадает с уравнением (5.5)], то его общее решение содержит только свободную составляющую (5.7):

i = i_св = Ae^–t/t, (5.13)

где t = L/r — постоянная времени цепи.

Осталось найти значение постоянной А. Для этого опять обратимся к закону коммутации для индуктивного элемента (5.1). Так как до замыкания ключа и, следовательно, в момент времени t = 0_– в катушке был постоянный ток, равный E/(r + R), то

i(0_–) = E/(r + R) = i(0₊) = А.

Подставив значение постоянной А в (5.13), получим ток в катушке индуктивности:

(5.14)

Ток в катушке индуктивности после коммутации (рис. 5.2,б) поддерживается за счет энергии, накопленной в ее магнитом поле.

Теперь можно определить и зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис. 5,2, б):

В. Размыкание цепи с катушкой индуктивности. При размыкании неразветвленной электрической цепи с катушкой индуктивности между размыкающимися контактами возникает дуговой разряд. Такой разряд наблюдается, например, в скользящих контактах электрического транспорта. Чтобы дугового разряда не было, необходимо параллельно участку цепи между контактами включить резистор. На рис. 5.3, а приведена схема замещения электрической цепи, в которой катушка индуктивности представлена последовательным соединением индуктивного L и резистивного r элементов, а выключатель представлен в виде параллельного соединения идеального ключа и резистивного элемента R.

Составим дифференциальное уравнение переходного процесса цепи после размыкания ключа:

u_L + u_r + u_R = Ldi/dt + (r + R)i = Е. (5.15)

Это дифференциальное уравнение полностью совпадает (с точностью до обозначений элементов) с уравнением (5.4). Следовательно, его общее решение аналогично (5.9) :

(5.16)

где iy = E/(r + R) — установившаяся составляющая тока, равная постоянному току в цепи после размыкания ключа.

Для определения постоянной А в (5.16) обратимся к закону коммутации для индуктивного элемента (5.1). До размыкания ключа, т. е. и при t = 0_–, в катушке был постоянный ток E/r. Поэтому по закону коммутации

i (0_–) = E/r = i(0₊) = Е/(r + R) + А, откуда

А = E/r – Е/(r + R) = RE/r(r + R).

Подставив значение постоянной А в (5.16), найдем ток в цепи катушки индуктивности после размыкания ключа (рис. 5.3, б):

(5.17)

где t = L/ (r + R) — постоянная времени цепи.

Зная ток в цепи, нетрудно определить зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис. 5.3,б):

В первый момент времени после размыкания ключа t = 0₊ напряжение на резистивном элементе R скачком возрастает от нуля u_R(0_–) = 0 до u_R (0₊) = ER/r. Поэтому при R > r между контактами ключа появляется значительное напряжение, которое и может вызвать дуговой разряд.