2.20. Повышение коэффициента мощности

Многие электротехнические устройства синусоидального тока (фазовращатели, двигатели и др.) имеют сильные магнитные поля. У таких устройств велика реактивная (индуктивная) составляющая тока (см. рис. 2.37, а), т. е. большой положительный угол сдвига фаз j между напряжением и током, что ухудшает их коэффициент мощности cosj, а значит, и коэффициент мощности промышленного предприятия в целом. Низкое значение cos j приводит к неполному использованию генераторов, линий передачи и другого электротехнического оборудования, которое бесполезно загружается реактивным (индуктивным) током. Эта составляющая тока обусловливает также увеличение потерь электрической энергии во всех токопроводящих частях (обмотках двигателей, трансформаторов, генераторов, проводах линий передачи и др.).

Чтобы увеличить значение cosj, необходимо включить параллельно приемнику со значительной реактивной (индуктивной) составляющей тока батарею конденсаторов. Реактивный (емкостный) ток батареи конденсаторов I_C компенсирует реактивный (индуктивный) ток приемника.

Представим приемник в виде эквивалентной схемы замещения пассивного двухполюсника (рис. 2.42, а). Компенсация реактивного (индуктивного) тока приемника (тока нагрузки) I_р.н при помощи батареи конденсаторов показана на векторной диаграмме (рис. 2.42, б), из которой видно, что коэффициент мощности после включения батареи конденсаторов увеличивается: cosj > cosj_н . В большинстве случаев допустима неполная компенсация сдвига фаз.

Если ток нагрузки /^ и коэффициент мощности приемника cosj_н известны и задано требуемое значение cosj после компенсации, то необходимое значение емкости конденсатора можно определить при помощи векторной диаграммы токов (рис. 2.42, б), из которой следует, что

I_atgj_н – I_atgj = I_C = wCU,

откуда

FORMULA!

где P=I U— активная мощность приемника.

Улучшение cosj посредством включения конденсаторов называется искусственным улучшением коэффициента мощности в отличие от естественного улучшения, получаемого при полном использовании мощности двигателей и установке таких двигателей (синхронных), у которых реактивный ток очень мал.

2.21. Резонанс в цепях синусоидального тока

При подключении колебательного контура, состоящего из катушки индуктивности и конденсатора, к источнику энергии (источнику синусоидальной ЭДС или синусоидального тока) могут возникнуть резонансные явления. Возможны два основных типа резонанса: при последовательном соединении катушки и конденсатора — резонанс напряжений, при их параллельном соединении — резонанс токов.

А. Резонанс напряжений. Резонанс напряжений возможен в неразветвленном участке цепи, схема замещения которого содержит индуктивный L, емкостный С и резистивный r элементы, т. е. в последовательном колебательном контуре (рис. 2.43) .

По закону Ома комплексное значение тока в контуре

FORMULA! (2.76а)

где FORMULA! — комплексное и полное сопротивления контура;

FORMULA! (2.76б)

— угол сдвига фаз между напряжением и током, т. е. аргумент комплексного сопротивления;

FORMULA! (2.76в)

— действующее значение тока.

Режим работы неразветвленного участка цепи, содержащей индуктивный, емкостный и резистивный элементы последовательного контура, при котором ее ток и напряжение совпадают по фазе, т. е.

y_i = y_u, (2.77)

называется резонансом напряжений.

Название "резонанс напряжений" отражает равенство действующих значений напряжений на емкостном и индуктивном элементах при противоположных фазах, что видно из векторной диаграммы на рис. 2.44, на которой начальная фаза тока выбрана равной нулю.

Из соотношения (2.76б) и условия (2.77) следует, что угловая частота, при которой наблюдается резонанс напряжений, определяется равенством

w_резL = 1/(w_резC), т.е.

FORMULA!

и называется резонансной.

При резонансе напряжений ток в цепи достигает наибольшего значения Iрез = U/r , а напряжения на емкостном и индуктивном элементах

U_Lрез = U_Срез = w_резLI_рез = Uw_резL/r могут (и во много раз) превысить напряжение питания, если

FORMULA!

Величина FORMULA! имеет размерность сопротивления и называется характеристическим сопротивлением колебательного контура. Отношение напряжения на индуктивном или емкостном элементе при резонансе к напряжению U на выводах контура, равное отношению характеристического сопротивления к сопротивлению резистивного элемента, определяет резонансные свойства колебательного контура и называется добротностью контура:

FORMULA!

Если при резонансе увеличить в одинаковое число раз n индуктивное и емкостное сопротивления, т. е. выбрать

x'_L = nx_Lрез и x'_С = nx_Срез, то ток в цепи не изменится, а напряжения на индуктивном и емкостном элементах увеличатся в п раз (рис. 2.44, б): U'_L = nU_Lрез и U'_C = nU_Cрез. Следовательно, в принципе можно безгранично увеличивать напряжения на индуктивном и емкостном элементах при том же токе:

1 = 1_рез = U/r.

Физическая причина возникновения повышенных напряжений — это колебания значительной энергии, запасаемой попеременно в электрическом поле емкостного и в магнитном поле индуктивного элементов.

При резонансе напряжений малые количества энергии, поступающей от источника и компенсирующей потери энергии в активном сопротивлении, достаточны для поддержания незатухающих колебаний в системе относительно больших количеств энергии магнитного и электрического полей. Покажем, что при резонансе в любой момент времени суммарная энергия электрического и магнитного полей

w_э + w_м = Си²_С/2 + Li²/2 остается постоянной.

Между напряжением на емкостном элементе и_C и током i сдвиг фаз равен четверти периода, поэтому если u_C = U_Cmsinwt, то i = I_mcoswt. Подставив эти выражения в предыдущее уравнение, получим

FORMULA!

Амплитуда тока I_m = wCU_Cm , а при резонансе т.е. LI_m² = СU²_Cm.

Следовательно,

FORMULA!

В аппаратуре связи, автоматики и т. д. большое практическое значение имеют зависимости токов и напряжений от частоты для цепей, в которых возможен резонанс. Эти зависимости называются резонансными кривыми.

Выражение (2.76в) показывает, что ток в цепи зависит от угловой частоты I (w) и достигает наибольшего значения при резонансе, т. е.

при w = w_рез и w_резL=w_реэC (рис. 2.45).

Полное сопротивление идеального последовательного контура (r = 0) при резонансе равно нулю (короткое замыкание для источника питания).

Наибольшие значения напряжений на индуктивном и емкостном элементах получаются при угловых частотах, несколько отличающихся от резонансной. Так, напряжение на емкостном элементе

FORMULA!

Наибольшему значению U_C(w) соответствует угловая частота w_C, при которой значение подкоренного выражения в последней формуле минимально. Следовательно, для определения угловой частоты w_C нужно приравнять нулю первую производную от подкоренного выражения по w:

2wr²C² + 4w³L²C² — 4wLC = 0, откуда

FORMULA!

Аналогично можно найти, что наибольшее значение напряжение на индуктивном элементе U_L (w) = wLI получается при угловой частоте

FORMULA!

Чем больше добротность колебательного контура Q, тем меньше отличаются угловые частоты w_C и w_L от резонансной угловой частоты и тем острее все три резонансные кривые I(w), U_C(w) и U_L(w).

В электроэнергетических устройствах в большинстве случаев резонанс напряжений — явление нежелательное, так как при резонансе напряжения установок могут в несколько раз превышать их рабочие напряжения. Но, например, в радиотехнике, телефонии, автоматике резонанс напряжений часто применяется для настройки цепей на заданную частоту.

Б. Резонанс токов. В участке цепи, схема замещения которой содержит параллельно соединенные индуктивный, емкостный и резистивный элементы (рис. 2.46), может возникнуть резонанс токов.

При заданном напряжении питания U. = UРy_u комплексное значение общего тока

FORMULA! где

FORMULA!

— комплексная и полная проводимости цепи; FORMULA!

— угол сдвига фаз между напряжением и общим током, т. е. аргумент комплексной проводимости. Действующее значение тока

FORMULA!

При угловой частоте FORMULA! индуктивная b_L = 1/(wL) и емкостная b_C = wС проводимости параллельных ветвей одинаковые, аргумент комплексной проводимости цепи j равен нулю, т. е. y_i = y_u, полная проводимость цепи у = g и общий ток I_рез = gU минимальный.

Режим участка цепи с параллельными ветвями, при котором сдвиг фаз между напряжением на его выводах и общим током равен нулю, называется резонансом токов.

При резонансе действующие значения токов в индуктивном и емкостном элементах одинаковые: I_L = (i/w_резL)U = 1_С = w_резСU, а сдвиг фаз между токами равен p, так как ток в индуктивном элементе отстает от напряжения по фазе на угол p/2, а ток в емкостном элементе опережает напряжение на такой же угол p/2 (рис. 2.47).

Если при резонансе токов в одинаковое число раз n увеличить индуктивную и емкостную проводимости, т. е. заменить bL = 1/w_резL и и_С = w_резС на b'_L = пb_L.и b'_C = nb_C, то токи I_L и I_C увеличатся тоже в п раз, а общий ток останется тем же: I_рез= gU. Таким образом, в принципе можно неограниченно увеличивать токи в индуктивном и емкостном элементах при неизменном токе источника.

На рис. 2.48 показаны резонансные кривые параллельного контура. В емкостном элементе ток I_C = wCU возрастает пропорционально угловой частоте, в индуктивном элементе ток I_r = U/(wL) обратно пропорционален угловой частоте, в резистивном элементе ток I_r = U/r от угловой частоты не зависит. Точка пересечения кривых 1_C(w) и I_L(w) соответствует резонансу токов, при котором I = 1r =1_рез.

Если проводимость g резистивного элемента равна нулю, то и полная проводимость y резистивного элемента равна нулю. При этом общий ток цепи (ток источника) также равен нулю, что эквивалентно размыканию цепи.

Последовательно с индуктивным элементом L может быть включен резистивный элемент r_L, а последовательно с емкостным элементом С — резистивный элемент r_C, учитывающие, например, потери энергии в проводах. Условием резонанса токов в такой цепи будет равенство индуктивной и емкостной проводимостей этих ветвей по (2.71б):

FORMULA!

И в этом случае при резонансе общий ток совпадает по фазе с напряжением.

Отметим, что резонанс токов в отличие от резонанса напряжений — явление безопасное для электроэнергетических установок. Резонанс токов, как и резонанс напряжений, находит применение в радиотехнических устройствах.