5.6. Разрядка емкостного элемента в цепи с резистивным и индуктивным элементами

Большое практическое значение имеет цепь разрядки емкостного элемента через последовательно соединенные индуктивный и резистивный элементы, например в генераторах импульсов напряжений с конденсаторами в качестве источников энергии.

Предположим, что емкостный элемент С (рис. 5.6) был сначала заряжен от источника постоянной ЭДС до напряжения, равного Е (ключ К в положении 1). Затем ключ К переводится в положение 2 и емкостный элемент подключается к последовательно соединенным индуктивному L и резистивному r элементам (эти элементы практически могут быть элементами схемы замещения катушки индуктивности).

Емкостный элемент начинает разряжаться (ток разрядки i ), его заряд q и напряжение и_C убывают. При этом энергия электрического поля емкостного элемента преобразуется в энергию магнитного поля индуктивного элемента и частично рассеивается в резистивном элементе.

Запишем для контура цепи, обозначенного штриховой линией, дифференциальное

уравнение на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и закона электромагнитной индукции:

(5.26)

так как положительные направления тока и напряжения на емкости ном элементе противоположны, т.е. ток i — это ток разрядки, то, как и для цепи на рис. 5.5, а,

(5.27)

После подстановки (5.27) в (5.26) получим однородное дифференциальное уравнение цепи второго порядка:

(5.28)

характеристическое уравнение которого

LCp² + rCp + 1 = 0. (5.29)

Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (5.28) состоит только из свободной составляющей:

u_С = u_Сcв = А₁e^p1t + А₂e^p2t, (5.30)

где ?????????? — корни характеристического уравнения (5.29).

В зависимости от значений параметров элементов цепи процесс разрядки может быть апериодическим или колебательным.

При ????????? оба корня характеристического уравнения действительные отрицательные и разрядка емкостного элемента имеет апериодический характер; при ??????? корни комплексные и сопряженные и разрядка имеет колебательный характер.

А. Колебательный процесс разрядки. В этом случае корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные:

р_1,2 = –d ± jw₀, (5.31)

где d = r/2L — коэффициент затухания; ????????? — собственная угловая частота колебательного процесса.

Подставив комплексные значения корней в (5.30), получим зависимости от времени при колебательном процессе напряжения на емкостном элементе и затем по (5.27) разрядного тока:

u_C = e^–dt(A1e^jw0t + A₂е^–jw0t); (5.32а)

(5.32б)

Для определения постоянных интегрирования А₁ и А₂ обратимся, как и в других задачах, к законам коммутации для индуктивного [см. (5.1)] и емкостного [см. (5.2)] элементов. До коммутации и, в частности в момент времени t = 0_–, непосредственно предшествовавший коммутации, напряжение на емкостном элементе равнялось ЭДС Е источника, а тока в индуктивном элементе не было. Поэтому

u_C(0_) = E = u_C(0₊) = A₁ + A₂;

i(0_–) = 0 = i(0₊) = C[d(A₁ + A₂) — jw₀(A₁ – A₂)], откуда

A₁ = Е(d + jw₀)/2jw₀; А₂ = e (jw₀ – d)/2jw₀.

Подставим эта значения в (5.32а) и учтем, что по формуле Эйлера (2.25)

e^±j^w0t = cosw₀t ± jsinw₀t.

В результате получим зависимость изменения напряжения на емкостном элементе от времени в виде

(5.33)

Сумму косинусоидальной и синусоидальной функций можно заменить одной синусоидальной функцией. Для этого положим, что отношение w₀/d = tgy, т.е. будем считать, что w₀ и d — катеты прямоугольного треугольника (рис. 5.7), гипотенуза которого

Разделив и умножив (5.33) на ????? получим

(5.34)

и по (5.27) разрядный ток будет

(5.35)

Зависимости (5.34) и (5.35) показывают, что напряжение емкостного элемента и разрядный ток можно рассматривать как синусоидально изменяющиеся во времени величины, но с амплитудами, уменьшающимися по экспоненциальному закону при постоянной времени t = = 1/d = 2L/r.

Для построения соответствующих зависимостей можно сначала построить вспомогательные экспоненты ???????? для напряжения

(рис. 5.8) и ??????? для тока. Кривые изменения напряжения и тока (рис. 5.8) должны вписаться в пределы, ограниченные указанными вспомогательными экспонентами. Для нахождения характерных точек кривой изменения напряжения на емкостном элементе; таких как u_C(0) = Е и u_C(t) = 0, на рисунке показана точками вспомогательная кривая — синусоида.

Б. Апериодический процесс разрядки. Если ???????, то действительные корни характеристического уравнения (5.29) имеют отрицательные различные значения, причем р₂ < p₁ < 0. Для нахождения А₁ и А т, в общем решении (5.30) воспользуемся аналогично предыдущему законами коммутации для емкостного и индуктивного элементов:

u_C(0_–) = Е = u_C(0₊) = A₁ + А₂;

т.е.

Подставив найденные значения постоянных интегрирования в (5.30), получим напряжение на емкостном элементе:

и ток разрядки:

Кривые изменения напряжения и тока показаны на рис. 5.9, где штриховыми линиями нанесены также вспомогательные экспоненты. В течение всего переходного процесса напряжение и ток остаются положительными, т. е. разрядка емкостного элемента апериодическая.

Для предельного случая апериодического процесса при г²/(4L²) = 1/(LC) характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня p₁ = р₂ = р = –r/(2L) (кратные корни). При кратных корнях общее решение дифференциального уравнения (5.28) отличается от (5.30) и записывается в виде

u_C = (A₁ + A₂^t)e^pt,

где постоянные A₁ и A₂ определяются на основании законов коммутации. Напряжение на емкостном элементе и ток во время предельного апериодического процесса разрядки