2. 11. Неразветвленная цепь синусоидального тока

В неразветвленной цепи (рис. 2. 23) при действии источника синусоидальной ЭДС e = E_msin (wt+ y_e) ток также синусоидален: i = I_msin (wt+ y_i) и напряжения на резистивном, индуктивном и емкостном элементах

u_r = U_rmsin (wt+ y_ur); u_L =U_Lmsin (wt+ y_uL);

u_C = U_Cmsin (wt+ y_uC).

Для расчета режима работы неразветвленной цепи комплексным методом представим все синусоидальные величины соответствующими комплексными по (2. 21):

На рис. 2. 23 стрелками изображены положительные направления тока, ЭДС и напряжений.

Выберем направление обхода контура и запишем уравнение по второму закону Кирхгофа (2. 41):

(2.43)

здесь учтен закон Ома для резистивного (2.29), индуктивного (2.32) и емкостного (2.36) элементов.

Из (2. 43) найдем комплексный ток в цепи:

или

(2. 44)

где???? — напряжение между выводами источника

и пассивного участка.

Величина, стоящая в знаменателе выражения для комплексного тока (2.44), называется комплексным сопротивлением (неразветвленного участка цепи):

Z = r+ j [wL — 1/(wC)] = r+ j (x_L — x_C). (2. 45а)

Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется комплексной проводимостью:

Y = 1/Z.

Каждому значению комплексного сопротивления Z, т. е. комплексному числу, соответствует точка на комплексной плоскости. Ее положение однозначно определяется вектором на комплексной плоскости (рис. 2. 24). Этот вектор является геометрической интерпретацией комплексного сопротивления и имеет такое же обозначение Z. Слагаемые комплексного сопротивления изображены на рис. 2. 24 также в виде векторов для двух случаев: x_L > х_C. (рис. 2. 24, а) и x_L < х_C

(рис. 2. 24, б). Геометрическая интерпретация комплексного сопротивления позволяет легко перейти от алгебраической формы записи комплексного сопротивления (2. 45а) к тригонометрической и показательной формам:

Z = z cos j+ jzsini; (2. 456) Z = ze^jj = z L j, (2. 45в)

где?????????? — модуль комплексного сопротивления или полное сопротивление;????? — аргумент

комплексного сопротивления. В зависимости от знака величины (x_L — x_C) аргумент комплексного сопротивления может быть либо

положительным (j > О — индуктивный характер комплексного сопротивления, как на рис. 2. 24, a), либо отрицательным (j < 0 — емкостный характер комплексного сопротивления, как на рис. 2. 24, б), но всегда |j| < p/2.

Подставим значение комплексного сопротивления в показательной форме (2. 45 и) в (2. 44). При этом ток в цепи будет определен по закону Ома для неразветвленной цепи:

или

(2. 46)

т. е.

I = U/z; y_i = y_u — j. (2. 47)

При известном комплексном токе в цепи комплексные напряжения на резистивном, индуктивном и емкостном элементах рассчитываются соответственно по (2. 29), (2. 32), (2. 36).

На рис. 2. 25 приведены векторные диаграммы тока и напряжений неразветвленнои цепи (рис. 2. 23) для двух случаев: х_L >х_C (рис. 2. 25, а) и x_L < x_C (рис. 2. 25, б) при одинаковом заданном напряжении???????

Если комплексное сопротивление цепи, имеет индуктивный характер, то ток I отстает по фазе от напряжения U, так как j > 0 (рис. 2. 24, а) и по (2. 47) y_i < y_u. Если комплексное сопротивление цепи имеет емкостный характер, то ток в цепи опережает по фазе напряжение, так как y < 0 (рис. 2.24, б) и по (2.47) y_i > y_u. На векторной диаграмме положительное значение угла y отсчитывается против направления движения часовой стрелки от вектора комплексного значения тока I; а отрицательное значение — по направлению движения часовой стрелки.

При нескольких последовательно соединенных резистивных индуктивньх и емкостных элементах комплексное сопротивление

Z = SR+ j (Sx_L — Sx_C) = r+ jx, (2. 48)

где r = SR — активное сопротивление и x = Sx_L — sx_c — реактивное сопротивление этой неразветвленной цепи. В активном сопротивлении происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии, а в реактивном сопротивлении необратимых преобразований нет.

Введенные здесь понятия об активном и реактивном сопротивлениях неразветвленной цепи применяются и для характеристики более сложных цепей. В общем случае можно говорить об активном и реактивном сопротивлениях любой пассивной цепи синусоидального тока, имеющей два вывода, т. е. пассивного двухполюсника.

Напряжение на элементах схемы замещения, соответствующих активному или реактивному сопротивлению цепи, называется падением напряжения.

Выражению (2.48) соответствуют треугольники сопротивлений на комплексной плоскости. На рис. 2.26, а и б построены треугольники сопротивлений при х > 0 и х < 0, т. е. при индуктивном и емкостном характере комплексного сопротивления. Там же показаны схемы замещения соответствующих цепей. Из треугольников сопротивлений наглядно определяются тригонометрическая и показательная формы комплексного сопротивления неразветвленной пассивной цепи, совпадающие с выражениями (2.45), причем полное сопротивление z и аргумент y комплексного сопротивления (2.48) будут

(2. 49а)

y = arctg (x/r). (2.49б)

Если для каждого участка неразветвленной цепи известно комплексное сопротивление Z_k, то сопротивление неразветвленной цепи

где n — число участков.