1.7. Первый и второй законы кирхгофа

Два закона Кирхгофа, называемые иногда правилами Кирхгофа, -основные законы электрических цепей. Оба закона были установлены на основании многочисленных опытов.

Согласно первому закону Кирхгофа (закону Кирхгофа для токов) алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю:

ФОРМУЛА (1.5)

где со знаком плюс записываются токи с положительными направлениями от узла, а со знаком минус — с положительными направлениями к узлу, или наоборот. Иначе: сумма токов, направленных от узла, равна сумме токов, направленных к узлу. Например, для узла цепи на рис. 1.10

ФОРМУЛА

или

I₃ + I₅ = I₁ + I₂ + I₄

Этот закон является следствием того, что в узлах цепи постоянного тока заряды не могут накапливаться. В противном случае изменялись бы потенциалы узлов и токи в ветвях.

Согласно второму закону Кирхгофа (закону Кирхгофа для напряжений) алгебраическая сумма напряжений участков любого контура электрической цепи равна нулю:

(1.6)

где m — число участков контура.

В (1.6) со знаком плюс записываются напряжения, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, и со знаком минус — противоположно направленные, или наоборот.

В частности, для контура схемы замещения цепи, содержащего только источники ЭДС и резиcтивные элементы, алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС:

(1.7)

где m — число резистивных элементов; n — число ЭДС в контуре.

В (1.7) со знаком плюс записываются ЭДС и токи, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, и со знаком минус — противоположно направленные, или наоборот. Для контуров, содержащих источники тока, например контура 1, показанного штриховой линией на рис. 1.11, допустима запись второго закона Кирхгофа только в виде (1.6), но не в виде (1,7).

Второй закон Кирхгофа (1.6) является следствием равенства нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля вдоль любого замкнутого контура длиной ???? в безвихревом поле ?????? = 0. Например, для контура 1 на рис. 1.11 по (1.6)

-U₁+U₂-U₃=0, для контура 2 по (1.7)

В частном случае в контур может входить только одна ветвь цепи, так что он замыкается вне ветвей цепи (рис. 1.12). В этом случае согласно (1.7)

rI — U = Е,

откуда

I=(U+E)/r. (1.8)

Уравнение (1.8) выражает обобщенный закон Ома для любой ветви с источником ЭДС (но без источников тока) с суммарными сопротивлением r и ЭДС E или отдельного участка этой ветви с параметрами r и E.

1.8. Применение закона ома и законов кирхгофа для расчетов электрических цепей

В общем случае схема замещения, цепи имеет В ветвей, из которых В, ветвей содержат источники тока, и У узлов.

Рассмотрим сначала расчет режима в цепи без источников тока, т. е. при В_J = 0. Ее расчет сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить У — 1 независимых уравнений по первому закону Кирхгофа и K=B-У+1 независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются независимыми.

Число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа на единицу меньше числа узлов потому, что ток каждой ветви входит с разными знаками в уравнения для соединяемых ею узлов. Сумма слагаемых уравнений всех узлов тождественно равна нулю.

В качестве примера рассмотрим расчет цепи, схема замещения которой показана на рис. 1.13 и которая содержит У = 2 узла и В = 3 ветви, т. е. К = В — У + 1 = 3 — 2 + 1 = 2 независимых контура (7 и 2, или 1 и 3, или 2 и 3).

Произвольно выбираем положительные направления токов ветвей I₁, I₂, I₃ По первому закону Кирхгофа можно составить одно (У — 1 = 2 — 1 = 1) независимое уравнение, например для узла а

-I₁-I₂+I₃=0 (1.9а)

и по второму закону Кирхгофа — два (К = 2) независимых уравнения, нанример для контура 1 и 2

r₁I₁ + r₃I₃ =E₁ + E₃ (1.9б)

r₂I₂ + r₃I₃ =E₂ + E₃ (1.9В)

Решение системы трех уравнений (1.9) стремя неизвестными токами, например методом подставок, определяет токи ветвей I₁, I₂, I₃.

Систему алгебраических уравнений сложной цепи, составленных на основе законов Ома и Кирхгофа, целесообразно решать численными методами на ЭВМ. Например, для схемы замещения без источника тока удобно воспользоваться матричной формой

AI = BE, (1.10)

где А и В — квадратные матрицы коэффициентов при токах и ЭДС порядка В х В, где В — число ветвей: 1 и Е — матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.

Элементы матрицы А и В являются коэффициентами в уравнениях (1.10) соответственно при токах и ЭДС. Отсутствие тех или иных токов и ЭДС в каких-либо уравнениях задается значениями "нуль" соответствующих элементов матриц.

Решение системы (1.10):

I = A^-1BE = GE, (1.11a)

где

(1.116)

— обратная матрица;  и _ik. — определитель матрицы А и алгебраические дополнения ее элементов a_ik;

(1.11В)

— матрица так называемых собственных g_ii и взаимных g_ik проводимостей.

Токи ветвей:

(1.12)

Форма записи системы уравнений (1.12) предполагает, что направления ЭДС и положительные направления токов в ветвях совпадают. Так, система уравнений (1.9) в матричной форме

или

(1.13)

определяет токи ветвей;

(1.14)

где

Математическое обеспечение современных ЭВМ имеет стандартные подпрограммы решения системы алгебраических уравнений в матричной форме.

При расчете схем замещения с источниками тока возможны упрощения. Действительно, токи В_J ветвей с источниками тока известны. Поэтому число независимых контуров (без источников тока!), для которых необходимо составить уравнения по второму закону Кирхгофа, равно К = В — В_J — У + 1.

При помощи законов Ома и Кирхгофа можно рассчитать режим работы любой электрической цепи. Однако порядок системы уравнений может быть большим. Для упрощения вычислений применяют различные расчетные методы: контурных токов, узловых потенциалов, межузлового напряжения, эквивалентного источника и т. д. Все эти методы основаны на законах Ома и Кирхгофа.