4.2. Действующее значение периодической несинусоидальной величины

Мгновенные значения токов и других величин можно рассчитать, как было отмечено выше, с применением метода наложения. Но практически весьма важно вычислить и действующие значения токов (напряжений, ЭДС), измеряемых амперметрами (вольтметрами).

Приведенное в § 2.6 определение действующего значения [см. (2.17)] на основании сопоставления с тепловым действием постоянного тока справедливо для любого периодического тока. Поэтому действующее значение периодического несинусоидального тока определим выражением

FORMULA! (4.3)

Учитывая (4.1), интеграл

FORMULA!

можно представить в виде суммы интегралов четырех типов:

1) FORMULA!

так как этот интеграл по определению равен квадрату действующего значения I_k гармонической составляющей тока k-го порядка;

2) FORMULA!

— это квадрат постоянной составляющей тока;

3) FORMULA!

так как интеграл от синусоидальной величины за целое число периодов равен нулю;

4) FORMULA!

где k и l — номера гармоник, причем k№l; интеграл равен нулю, так как произведение синусоидальных функций можно заменить разностью косинусоидальных:

т.е. подынтегральное выражение интеграла 4-го типа является разностью двух косинусоидальных функций, интеграл каждой из которых за целое число периодов равен нулю.

Таким образом, действующее значение периодического несинусоидального тока

FORMULA!

или

FORMULA! (4.4)

т.е. действующее значение периодического несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и квадратов действующих значений всех гармонических составляющих. Так же определяется действующее значение периодического несинусоидального напряжения:

FORMULA! (4.5) и аналогично любой другой периодической несинусоидалыюй величины.

4.3. Мощность периодического несинусоидального тока

Выражение мгновенной мощности р = ui (4.6)

справедливо для токов и напряжений с любой формой кривой. Активная мощность любого периодического тока по определению равна среднему за период значению мгновенной мощности:

FORMULA! (4.7)

После подстановки в (4.6) напряжения и [см. (4.2)] и тока i [см. (4.1)] в виде рядов активная мощность будет представлена суммой интегралов таких же четырех типов, которые были рассмотрены при определении действующею значения периодического несинусоидального тока:

1) FORMULA!

где

j_k = y_uk – y_ik (вычисление интеграла см. в § 2.14);

2)

3)

4)

при k№l.

Таким образом, активная мощность

(4.8)

т.е. активная мощность периодического несинусоидального тока равна сумме активных мощностей всех гармонических составляющих и мощности постоянных составляющих напряжения и тока (мощности постоянного тока).

Реактивной мощностью периодических несинусоидальных токов можно условно считать величину

(4.9)

Полная мощность периодического несинусоидального тока определяется также условно:

4.4. Электрические фильтры

В цепи периодического несинусоидального тока для различных гармонических составляющих этого тока индуктивные сопротивления катушек kwL и емкостные сопротивления конденсаторов 1/kwC зависят от номера k гармонической составляющей.

На зависимости индуктивных и емкостных сопротивлений от частоты основан принцип работы электрических фильтров — устройств, при помощи которых гармонические составляющие токов и напряжений определенной частоты или в пределах определенной полосы частот значительно уменьшаются.

А. Сглаживающие фильтры. Сглаживающие фильтры служат для уменьшения процентного содержания на сопротивлении нагрузки гармонических составляющих выпрямленного напряжения или снижения процентного содержания высших гармоник в кривой переменного напряжения.

Рассмотрим работу простейшего сглаживающего фильтра (рис. 4.3), представляющего собой пассивный линейный четырехполюсник, к выходным выводам которого подключен приемник с сопротивлением нагрузки r_2н. Коэффициент передачи напряжения [см. (2.90а)] фильтра, цепь которого вместе с приемником представляет собой цепь со смешанным соединением ветвей (см. § 2.18), равен

Соответствующая амплитудно-частотная характеристика фильтра

приведена на рис, 4.4. Чем выше частота гармоники напряжения на входе и фильтра, тем меньше ее процентное содержание в напряжении на его выходе и_ВЫХ (рис. 4.5). Аналогичными свойствами обладает сглаживающий фильтр по схеме на рис. 4.6.

Б. Резонансные фильтры. В резонансных фильтрах используются явления резонансов напряжений и токов в электрических цепях (см. § 2.21) для выделения или исключения в кривой напряжения на приемнике определенной полосы частот. Соответствующие фильтры называются полосовыми и заградительными.

На рис. 4.7, а приведена схема простейшего полосового фильтра на основе явления резонанса напряжений, а на рис. 4.7, б — его амплитудно-частотная характеристика, найденная по формуле (2.76в):

Ширина полосы частот Dw, выделяемая фильтром, на уровне

тем меньше, чем больше добротность цепи

В заградительном фильтре по схеме на рис. 4.8, а используется явление резонанса токов. Его амплитудно-частотная характеристика

приведена на рис. 4.8,6. Ширина полосы частот Dw, заграждаемых .фильтром, определяется на уровне

Комбинации явлений резонансов напряжений и токов в различных ветвях фильтра позволяют создавать полосовые и заградительные фильтры высокого качества.

В. Избирательные rC-фильтры. Фильтры, содержащие только резисторы и конденсаторы, называются rС-фильтрами. Отсутствие в них индуктивных элементов делает их привлекательными для реализации в виде интегральных микросхем. Примером полосового rС-фильтра может служить четырехполюсник (рис. 4.9, а), называемый мостом Вина, с коэффициентом передачи напряжения при разомкнутой цепи нагрузки

K_u=Z₂/(Z₁ + Z₂), (4.10)

где Z₁ = –j/(wC₁) + r₁ и Z₂ = 1/(1/r₂ + jwС₂) — комплексные сопротивления.

Амплитудно-частотная Кu (w) и фазочастотная qu(w) характеристики моста Вина приведены на рис. 4.9,6. Максимальное значение амплитудно-частотной характеристики равно 1/3 и достигается при угловой частоте

(4.11)

При этом фазочастотная характеристика пересекает ось абсцисс,

т.е. q=0.

Заградительный rС-фильтр можно реализовать при помощи двойного T-образного моста (рис. 4.10). При разомкнутой цепи нагрузки минимуму его амплитудно-частотной характеристики соответствует угловая частота w₀ = 1/(rС). Доказательство этого условия достаточно трудоемкое и здесь не приводится.

Возможны и другие схемотехнические решения избирательных rС-фильтров.

ГЛАВА ПЯТАЯ

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ