3. Скалярный потенциал магнитного поля

Ранее для электростатического поля вне зарядов ( = 0) была получена система урав­нений 

Для магнитного поля вне токов ( = 0) система уравнений имеет вид

Сравнение этих систем уравнений показывает, что они имеют одина­ко­вую струк­туру и, следовательно, к их решению применим принцип двойст­вен­ности. Это значит, что к расчету магнитного поля в областях вне токов мо­гут быть применены методы, заимствован­ные из электростатики. Введем по анало­гии понятие скалярного магнитного потенциала _м(x,y,z) из условия

Применение понятия скалярного потенциала _м(x,y,z) в ряде случаев зна­чительно уп­рощает решение задач по расчету магнитного поля вне токов. Сле­дует иметь в виду, что для электрического поля напряжение не зависит от выбора пути ин­тегрирования, в то же время магнитное напряжениезависит от выбора этого пути.

4. Магнитное поле цилиндрического проводника с током

Пусть по бесконечно длинному цилиндрическому проводу радиуса R про­текает по­стоянный ток I . Выберем систему координат x, y, z так, чтобы ось про­вода совпадала с осью координат z (рис. 276).

Будем считать, что ток равномерно распределяется по сечению провода, тогда его плотность будет равна

Для исследования магнитного поля выделим две неравнозначные об­ласти, для каж­дой из которых выполним расчет параметров магнитного поля

1) область внутри провода при 0  r  R ,

2) область вне провода при R  r   .

Для расчета поля во внутренней области выберем контур интегрирования в виде ок­ружности с текущим радиусом rR . Тогда ток внутри контура интег­рирования

, откуда

Применим к контуру интегрирования закон полного тока в интеграль­ной форме 

,

откуда следует и.

Векторы инаправлены по касательной к окружности, их направле­ние опре­деляется по правилу правоходового винта.

При увеличении радиуса на элементарную величину dr произойдет приращение магнитного потока на величину dф на единицу длины провода (l = 1) и приращение магнитного потокосцепления на величину d 

Внутренний магнитный поток и внутреннее потокосцепление найдутся в резуль­тате интегрирования полученных выше выражений по всему сечению провода

_,

.

Из последнего уравнения следует формула для внутренней индуктив­ности провода на еди­ницу длины 

Гн/м

Внутренняя индуктивность провода зависит от его магнитной прони­цаемости  (для стальных проводов она значительно больше, чем для медных или алюминиевых) и не зави­сит от его радиуса.

Для расчета поля во внешней области выберем контур интегрирования в виде окруж­ности с текущим радиусом rR . Ток внутри контура интегрирова­ния равен I и не зависит от текущего значения радиуса r. Из закона полного тока следует

, откуда и

Приращения магнитного потока dф и потокосцепления d будут равны

Внешний магнитный поток Ф_внеш и соответственно внешнее потокосце­пление _внеш найдутся в результате интегрирования полученных выше выраже­ний по сечению вне про­вода

,

где R’   - внешний радиус в окружающем провод пространстве, где произво­дится расчет параметров поля.

Внешняя индуктивность провода на единицу длины 

Гн/м