2. Замена несинусоидальных функций u(t) и I(t) эквивалентными сину­соидаль­ными

В электрических цепях электроэнергетики, содержащих нелинейные эле­менты, иска­жение форм кривых токов и напряжений незначительны, играют второстепенную роль и ими можно пренебречь. Для исследования таких цепей можно применять так называемый метод эквивалентных синусоид. Сущность метода состоит в том, что при незначительных искаже­ниях форм кривых неси­нусоидальные функции токов и напряжений i(t) и u(t) заменяются эквивалент­ными по действующему значению синусоидальными функциями (рис. 226а, б).

При малых искажениях форм кривых высшие гармоники практически не влияют на величину действующего значения функции, поэтому действующее значение несинусоидальной функ­ции практически равно действующему значе­нию ее первой гармоники.

При переходе к эквивалентным синусоидам происходит полная потеря информации о формах кривых функций, их гармонических составах, максиму­мах и минимумах и т. д.

При расчете нелинейных цепей методом эквивалентных синусоид физи­ческие харак­теристики нелинейных элементов u(t) – для резистора, ψ(і) – для катушки и q(u)  для кон­денсатора заменяются расчетными вольтамперными характеристиками U(I) или I(U) для дей­ствующих значений эквивалентных си­нусоидальных величин. Расчетные ВАХ для конкрет­ных линейных элементов могут быть получены экспериментально путем проведения изме­рений дейст­вующих значений U и I в произвольном режиме. Если заданы физические ха­рак­теристики для мгновенных значений величин, то соответствующие ВАХ мо­гут быть полу­чены расчетным путем для синусоидального режима по напряже­нию или току. Например, пусть веберамперная характеристика нелинейной ка­тушки выражается уравнением i(ψ)=аψ + bψ⁵. При синусоидальном напряжении на зажимах катушки ее по­токосцепление также будет из­меняться по синусоидальному закону :

, где .

Закон изменения тока в катушке получим из уравнения аппроксимации:

.

Действующее значение тока будет равно: .

Следует иметь в виду тот факт, что ВАХ U(I) нелинейных элементов, сня­тые экспе­риментально или полученные расчетным путем, соответствуют опре­деленному режиму, при котором они были получены, например, синусоидаль­ному напряжению. В условиях конкрет­ной цепи напряжение на этих элементах могут существенно отличаться от синусоидальной формы, поэтому реальные ВАХ могут несущественно отличаться от экспериментальных или расчетных.

3. Методы расчета нелинейных цепей переменного тока на основе вах для эквивалентных синусоид

Замена несинусоидальных функций i(t) и u(t) эквивалентными синусои­дальными по­зволяет применить к расчету нелинейных цепей переменного тока комплексный метод со всеми вытекающими из него преимуществами.

В простейших случаях, когда схема цепи состоит только из последова­тельно или только из параллельно включенных элементов, решение задачи мо­жет быть выполнено гра­фически методом сложения ВАХ. Отличительной осо­бенностью данного метода является то обстоятельство, что отдельные ВАХ складываются не арифметически, как это имело место в цепях постоянного тока, а векторно в соответствии с уравнениями Кирхгофа в комплексной (век­торной) форме.

Пусть требуется рассчитать режим нелинейной цепи с последовательным соединением источника ЭДСЕ, линейного резистора R и нелинейной катушки с ВАХ U_L(I) (рис. 227а)

Рис. 227

Построим в одной системе координат UI графические диаграммы ВАХ отдельных элементов: резистора U_R=IR и катушки U_L(I). Векторное сложение ВАХ отдельных элемен­тов по оси U следует выполнить в соответствии со вто­рым законом Кирхгофа , в результате сложения получим ре­зультирующую ВАХU(I) (рис. 227б). По­ложение рабочей точки n на результи­рующей ВАХ определяется условием U=E. Последова­тельность графического решения показана на рис. 227б стрелками.

Та же задача может быть решена аналитически методом последовательных приближе­ний. Так как в аналитических методах расчета используется матема­тическая форма ВАХ, то заданную ВАХ нелинейной катушки аппроксимируем одним из уравнений, например I=aU+bU⁵.

Составляется схема вычислений:

задаются в первом приближении. Далее следуют вычисления:

и т. д. до достижения требуемой точности, например, .

Метод последовательных приближений применим к расчету схем любой сложности. Вычисления в отдельном цикле для сложных схем выполняются в комплексной форме. В ка­честве примера приведем расчет схемы рис. 228. За­даны параметры линейных элементов Е, R, X_C. ВАХ нелинейных элементов за­даны аналитически в виде уравнений аппроксимации: .

Для исследуемой схемы система комплексных уравнений Кирхгофа со­вместно с урав­нениями аппроксимации имеет вид:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Один из вариантов решения полученной системы уравнений методом по­следователь­ных приближений представлен ниже.

1. Задаются в первом приближении комплексным напряжением на нели­нейной ка­тушке, например: .

2. Определяется модуль тока аналитически из уравнения (5) или гра­фически по диаграмме функции I_L(U_L). Аргумент этого комплекса принимается равным 90^о (в катушке ток отстает от напряжения на угол =90^о). В ком­плекс­ной форме .

3. Определяется напряжение на линейном резисторе по закону Ома: .

4. Из уравнения (3) находится напряжение на конденсаторе: .

5. По закону Ома определяется ток конденсатора: .

6. Из уравнения (1) находится ток источника .

7. Определяется модуль напряжения аналитически из уравнения (4) или графиче­ски по диаграмме функции U_R(I_R). Аргумент этого комлекса при­ни­мается равным аргументу комплекса тока (в резисторе ток совпадает с нап­ряжением). В комплексной форме .

8. Из уравнения (2) находится расчетное значение ЭДС: .

9. Сравнивают найденное в первом приближении значение модуля ЭДС с за­данным значением ЭДСЕ и с учетом вида полученного неравенства задаются но­вым значением напряженияво втором приближении и повторяют расчет по тому же ал­горитму. Циклы расчета (итерации) повто­ряют до достижения желаемой точности. В ре­зультатах последнего цикла кор­ректи­руют аргументы комплексных токов и напряжений пу­тем добавления к ним значения.