8. Поверхностный эффект в круглом проводе

Электромагнитное поле в проводящей среде в общем случае описывается системой уравнений Максвелла в комплексной форме:

Если оси координат выбрать так, как показано на рис. 287, т.е. ось z со­вмес­тить с осью провода и положительным направлением тока, то вектор на­пря­жен­ности электрического полябудет направлен по осиz (согласно закону Ома ), а вектор напряженности магнитного полябудет направлен нор­мально к радиусу по правилу правоходового винта.

В цилиндрической системе координат те же уравнения примут вид:

.

Совместное решение этой системы уравнений относительно комплекс­ных перемен­ных идает следующий результат:

где ,

Уравнение для переменной представляет собой уравнение Бесселя ну­левого по­рядка приn = 0, а уравнение для переменной – уравнение Бес­селя первого порядка приn = 1. Решения этих уравнений известны из матема­тики. Окончательные решения для векто­ров поля получают вид:

где – функции Бесселя соответст­венно нулевого и пер­вого по­рядка от комплексного аргументаqr и сами явля­ются комплексными числами.

Общий вид функции Бесселя n–го порядка выражается бесконечным ря­дом

Значения функций Бесселя приводятся в математических справочниках в виде таблиц или диаграмм.

Анализ решения для вектора напряженности электрического поля и соответст­венно для вектора плотности токапоказывает, что перемен­ный ток по сечению ци­линдрического провода распределяется неравномерно: его плотность возрастает по на­правлению от центра к поверхности при­мерно по экспоненциальному закону. Эта неравно­мерность выражена тем больше, чем больше число k и радиус провода r₀ (рис. 288).

Явление возрастания плотности тока от центра к поверхности провода получило на­звание поверхностного эффекта. Поверхностный эффект возрас­тает с ростом частоты f, магнитной проницаемости , удельной проводимости . В технике сильных токов (на час­тоте 50 Гц) это явление сказывается незна­чи­тельно в медных и алюминиевых проводах большого сечения, и в сильной сте­пени  в сталь­ных (1) проводах любого сечения.

На расстоянии  = 1/k от поверхности провода плотность тока убывает в е раз, это расстояние называют глубиной проникновения поля:

.

Как известно, сопротивление проводника постоянному току или омиче­ское сопро­тивление определяется по формуле:

[Ом/м].

Внутреннее комплексное сопротивление того же проводника перемен­ному току с учетом поверхностного эффекта может быть выражено через па­ра­метры поля:

.

Явление возрастания плотности тока от центра к поверхности провода получило на­звание поверхностного эффекта. Поверхностный эффект возрас­тает с ростом частоты f, магнитной проницаемости , удельной проводимости . В технике сильных токов (на час­тоте 50 Гц) это явление сказывается незна­чи­тельно в медных и алюминиевых проводах большого сечения, и в сильной сте­пени  в сталь­ных (1) проводах любого сечения.

Практический интерес представляет отношение активного сопротивления провода к омическому R/R₀, количественно характеризующее поверхностный эффект в проводе. Рас­четы показывают, что на промышленной частоте 50 Гц увеличение активного сопротивле­ния R / R₀ незначительно для медных и а­лю­миниевых проводов ( = 1) и существенно для стальных проводов (1). С ростом частоты f вследствие усиления поверхностного эф­фекта происходит увеличение активного сопротивления провода (R/R₀>1).