10. Преобразователь частоты в 3 раза на нелинейных катушках

В нелинейных цепях переменного тока происходят искажения форм кри­вых напряже­ний и токов u(t) и i(t), в составе которых появляются высшие гар­моники. Таким образом, не­линейные элементы выступают в роли преобразова­телей сигналов основной частоты в сиг­налы других частот. Если с помощью фильтров выделить из несинусоидальной функции оп­ределенную k-ую гармо­нику, то можно говорить о преобразователе сигнала в k раз.

На схеме рис. 243 представлен преобразователь частоты в 3 раза – утрои­тель частоты Спинелли. Схема утроителя состоит из трех одинаковых нелиней­ных катушек (трансформа­торов). Первичные обмотки трансформаторов вклю­чаются в трехфазную сеть по схеме звезды без нулевого провода, а вторичные обмотки соединяются по схеме открытого тре­угольника, на выход которого подключа­ется нагрузка. Магнитный режим трансформаторов выбирается так, чтобы по­лучить большие искажения форм кривых токов i(t) и напряжений u(t). Роль фильтра гармоник кратных трем выполняет схема открытого треуголь­ника. Из­вестно, что гармоники, образующие симметричные системы прямой и обратной последова­тельностей в треугольнике взаимно компенсируется, а гар­моники кратные трем складыва­ются арифметически. Следовательно, на выходе откры­того треугольника будет иметь место утроенное значение напряжения всех гармоник, кратных трем (3-я, 9-я и т.д.).

Выполним расчет режима в схеме методом гармонического баланса.

Фазные токи в первичной цепи будут содержать в своем составе только нечетные гармоники, при этом в них будут отсутствовать высшие гармоники, кратные трем:

Такой режим перемагничивания приведет к появлению гармоник, крат­ных трем, в магнитных потоках стержней и, следовательно, в фазных напряже­ниях трансформаторов:

Амплитуда основной гармоники в магнитных потоках связана с фазным напряжением сети уравнением трансформаторной ЭДС: U_ф = 4,44wfФ_1m. Появ­ление высших гармоник, кратных трем, в магнитных потоках и, соответственно, в фазных напряжениях обусловлено нелинейностью вебер-амперных характери­стик магнитных цепей. Наличие высших гармоник, кратных трем, в фазных на­пряжениях не повлияет на форму линейных напряжений, которые равны разно­сти фазных напряжений.

Применяя аппроксимацию вебер-амперной характеристики магнитной цепи уравне­нием степенного полинома i = aф + bфи решая задачу методом гармонического баланса получим приближенную формулу для коэффициента 3-й гармоники напряжения:

Выходное напряжение утроителя с учетом арифметического сложения в треугольнике гармоник, кратных трем, будет равно: U_вых = 3к_Г3U_ф  (0,9-1,3) U_ф.

11. Расчет мгновенных значений параметров режима методом числен­ного интегрирования системы дифференциальных уравнений.

Режим нелинейной цепи любой сложности может быть описан системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. Как из­вестно из математики, система дифференциальных уравнений (как линейных так и нелиней­ных) может быть решена методом чис­ленного интегрирования (методы Эйлера, Рунге-Кутта). Таким образом, режим любой нелинейной цепи может быть рассчитан методом численного интегриро­вания дифференциальных уравнений .

Рассмотрим применение этого метода на примере расчета схемы рис. 244. Пусть на входе схемы источник синусоидальной ЭДСe(t) = E_m·sin(t), а вебер-амперная характери­стика нелинейной катушки аппроксимирована уравнением i = a·sh(b·).

Система дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Ома и Кирхгофа и дополненная нелинейным алгебраи­ческим урав­нением аппроксимации ха­рактеристики нелинейного элемента будет иметь вид:

Решение этой системы уравнений может быть выполнено методами чис­ленного интег­рирования на ЭВМ (например, методом Эйлера). Суть метода со­стоит в том, что период пе­ременного тока Т разбивается на большое число ша­гов интегрирования, например N=1000, дифференциалы переменных заме­ня­ются конечными приращениями (d, duu, dii, dtt), а произ­вод­ные переменных  отношением приращений (d/dt/t, du/dtu/t). На каждом шаге производится решение системы уравнений и определяются значе­ния переменных величин (токов, напряжений) и их производных, причем в ка­честве ис­ходных данных принимают значения некоторых переменных на пре­дыдущем шаге. В каче­стве таких функций принимают u_С(t), i_L(t), которые опре­деляют запасы энергии в электриче­ском и магнитном поле, вследствие чего они не могут изменяться скачкообразно. Непосред­ственным результатом расчета будут являться массивы значений переменных величин (токов, напря­жений) и их производных в заданном интервале времени (например, в течение периода Т). В результате последующей обработки массивов данных могут быть опреде­лены дейст­вующие, средние, максимальные значения переменных, их гармони­ческий состав и другие параметры функций.

Метод численного интегрирования (численный метод) обладает высокой точностью, так как в нем непосредственно используются физические характе­ристики нелинейных эле­ментов. С появлением ЭВМ и расширением области их применения данный метод является основным при расчете нелинейных цепей как в установившемся, так и в переходном режиме.

Один из вариантов решения полученной системы уравнений методом численного ин­тегрирования представлен ниже.

Исходные данные: параметры элементов схемы (E_m , f , R, C, a, b); на­чальные условия u_С(0)=0, (0)=0.

Принимаем: Nчисло шагов интегрирования за период тока, Т = 1/f  пе­риод тока, =2f  угловая частота, h=t=T/N  шаг интегрирования.

Алгоритм решения системы для произвольного к-го шага:

t_к = h·к;

из (5) i_к = a·sh(b·_(к-1));

из (2) u_{R к} = i_к ·R;

из (1) u_Lк = E_m·sin(t_к)  u_Rк  u_Rок u_С(к-1);

из (3) (d/dt) _к = u_Lк;

из (4) (du_С/dt) _к = i_к / C;

_к= _(к-1) + h · (d/dt) _к;

u_Ск = u_С(к-1) + h · (du_С/dt) _к.

Вычисление определенных интегралов для определения действующих и средних значений переменных (здесь и далее на примере тока i):

S_i1=S_i1+ i_к · i_к ·h

S_i2=S_i2+ i_к ·h

Вычисление определенных интегралов для определения гармонических спектров пе­ременных:

для 1-й гармоники: S_i3=S_i3+ i_к ·sin(1 ·t_к ) ·h

S_i4=S_i4+ i_к ·cos(1·t_к ) ·h

для 2-й гармоники: S_i5=S_i5+ i_к ·sin(2·t_к ) ·h

S_i6=S_i6+ i_к ·cos(2·t_к ) ·h, и т.д.

Определение максимальных значений переменных:

если i_к > I_m то I_m = i_к.

Конец к-го цикла интегрирования.

После завершения процесса интегрирования производится вычисление интегральных параметров переменных.

Действующие значения: , и т. д.

Cредние значения: , и т. д.

Амплитуды синусных и косинусных составляющих гармоник:

; ; ; , и т.д.

Амплитуды и начальные фазы гармоник:

; ;; , и т.д.

Действующие значения высших гармоник:

, и т.д.

Коэффициенты амплитуды: К_а=I_max / I , и т.д.

Коэффициенты отдельных гар­мо­ник: К_г2 =I_2m / I_1m , К_г3 =I_3m / I_1m, и т.д.

Коэффициенты искажения: К_и = I_вг /I, и т.д.

Коэффициенты формы: К_ф = I / I_ср, и т.д.